\( \vec{u} = \hat{i} + \hat{j} \) এবং \( \vec{v} = \hat{j} + \hat{k} \) এর অন্তর্ভুক্ত কোণ-

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \vec{u} = \hat{i} + \hat{j} \) এবং \( \vec{v} = \hat{j} + \hat{k} \) এর মধ্যে অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় করো। সমাধান: প্রথমে, উভয় ভেক্টরের মান নির্ণয় করি। \[ \vec{u} = \hat{i} + \hat{j} \Rightarrow \vec{u} = (1, 1, 0) \] \[ \vec{v} = \hat{j} + \hat{k} \Rightarrow \vec{v} = (0, 1, 1) \] অন্তর্ভুক্ত কোণ \(\theta\) নির্ণয় করতে, আমরা ভেক্টরগুলোর ডট প্রোডাক্ট ও দৈর্ঘ্য ব্যবহার করব। ডট প্রোডাক্ট: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) = 0 + 1 + 0 = 1 \] ভেক্টরগুলোর দৈর্ঘ্য: \[ |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] \[ |\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \] অন্তর্ভুক্ত কোণের কসম: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \] অতএব, \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) \] যা চিহ্নিত করে, \[ \boxed{\theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right)} \]