Another Explanation (5): প্রশ্নঃ \(\tan \theta = \sqrt{3}\) হলে নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তর: "i ও iii"
প্রথমে, দেওয়া আবশ্যকীয় তথ্য হলো: \(\tan \theta = \sqrt{3}\)
এখন, আমরা \(\sin 2\theta\), \(\cos 2\theta\), এবং \(\tan 2\theta\) নির্ণয় করব।
---
**ধাপ 1: \(\theta\) এর মান নির্ণয়**
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \sqrt{3}\)
এতদ্বারা, আমরা জানি:
\[
\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \sqrt{3}
\]
অর্থাৎ,
\[
\sin \theta = \sqrt{3} \cos \theta
\]
প্রতিপাদ্য অনুযায়ী, কোণের মানের জন্য একটি সাধারণ মান হলো:
\[
\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \theta = \frac{1}{2}
\]
এটি তখন হয় যখন \(\theta = 60^\circ\) বা \(\pi/3\) রেডিয়ান।
---
**ধাপ 2: \(\sin 2\theta\) নির্ণয়**
\[
\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta
\]
প্রদত্ত মান দিয়ে,
\[
\sin 2\theta = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
\boxed{\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}}
\]
সুতরাং, প্রথম বিবৃতি **সঠিক**।
---
**ধাপ 3: \(\cos 2\theta\) নির্ণয়**
\[
\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta
\]
প্রদত্ত মান অনুযায়ী,
\[
\cos^2 \theta = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\]
\[
\sin^2 \theta = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}
\]
অতএব,
\[
\cos 2\theta = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
\boxed{\cos 2\theta = -\frac{1}{2}}
\]
প্রদত্ত বিকল্পে লেখা ছিল \(\cos 2\theta = \frac{1}{2}\), যা ভুল। সুতরাং, দ্বিতীয় বিবৃতি **অসঠিক**।
---
**ধাপ 4: \(\tan 2\theta\) নির্ণয়**
\[
\tan 2\theta = \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta}
\]
আমরা জানি,
\[
\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
\cos 2\theta = -\frac{1}{2}
\]
সুতরাং,
\[
\tan 2\theta = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}
\]
অর্থাৎ,
\[
\boxed{\tan 2\theta = -\sqrt{3}}
\]
এটি প্রথমে দেওয়া বিকল্পের মধ্যে **তৃতীয়**। এটি **সঠিক**।
---
**সারসংক্ষেপ:**
| বিবৃতি | ফলাফল | সত্য/ভুল |
| --- | --- | --- |
| i. \(\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) | সঠিক | **সঠিক** |
| ii. \(\cos 2\theta = \frac{1}{2}\) | ভুল | **ভুল** |
| iii. \(\tan 2\theta = -\sqrt{3}\) | সঠিক | **সঠিক** |
**উত্তরঃ** "i ও iii"
---
**HTML কোড:**
```html
প্রশ্নঃ \(\tan \theta = \sqrt{3}\) হলে নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তর: "i ও iii"
সমাধান:
- \(\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos 2\theta = \frac{1}{2}\)
- \(\tan 2\theta = - \sqrt{3}\)
ধাপ ১: \(\tan \theta = \sqrt{3}\) থেকে, \(\theta = 60^\circ\) বা \(\pi/3\) রেডিয়ান।
ধাপ ২: \(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\)
\(\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos \theta = \frac{1}{2}\)
\(\sin 2\theta = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
অতএব, বিবৃতি (i) সঠিক.
ধাপ ৩: \(\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta\)
\(\cos^2 \theta = \frac{1}{4}\), \(\sin^2 \theta = \frac{3}{4}\)
\(\cos 2\theta = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}\)
বিবৃতি (ii) \(\frac{1}{2}\) নয়, তাই ভুল.
ধাপ ৪: \(\tan 2\theta = \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta}\)
\(\tan 2\theta = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}\)
সুতরাং, বিবৃতি (iii) সঠিক.
```
