a এর মান কত হলে,  ahati - 2hatj +hatk  এবং  2ahati - ahatj - 4hatk পরস্পর লম্ব হবে ? 

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে, \( \vec{A} = a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) এবং \( \vec{B} = 2a\hat{i} - a\hat{j} - 4\hat{k} \) পরস্পর লম্ব হবে ? 🤔

সমাধান:

দুটি ভেক্টর \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \) লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের ডট গুণফল শূন্য হবে। অর্থাৎ, \( \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \) 😮।

এখানে, \( \vec{A} = a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) এবং \( \vec{B} = 2a\hat{i} - a\hat{j} - 4\hat{k} \)।

সুতরাং, \( \vec{A} \cdot \vec{B} = (a)(2a) + (-2)(-a) + (1)(-4) \)।

\( \Rightarrow 2a^2 + 2a - 4 = 0 \)

\( \Rightarrow a^2 + a - 2 = 0 \) (উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে) 😉

এখন, আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পেয়েছি। একে সমাধান করে a এর মান বের করতে হবে।

\( a^2 + 2a - a - 2 = 0 \)

\( a(a + 2) - 1(a + 2) = 0 \)

\( (a - 1)(a + 2) = 0 \)

অতএব, \( a = 1 \) অথবা \( a = -2 \) 🤩।

সুতরাং, a এর মান 1 অথবা -2 হলে ভেক্টর দুটি লম্ব হবে।

উত্তর: -2, 1 🎉