a এর মান কত হলে P=5a-a+4; Q=2a-2-3 পরস্পর লম্ব হবে?

🤔 দেওয়া আছে, P = 5a - a + 4 = 4a + 4 এবং Q = 2a - 2 - 3 = 2a - 5.

যেহেতু P এবং Q পরস্পর লম্ব, তাই এদের গুণফল -1 হবে। অর্থাৎ, P * Q = -1 🤝। সুতরাং,

(4a + 4)(2a - 5) = -1

বা, 8a² - 20a + 8a - 20 = -1

বা, 8a² - 12a - 19 = 0

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা দ্বিঘাত সূত্রের সাহায্যে a এর মান বের করতে পারি: \(a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

এখানে, a = 8, b = -12, c = -19.

সুতরাং, \(a = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-19)}}{2 \cdot 8}\)

\(a = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 608}}{16}\)

\(a = \frac{12 \pm \sqrt{752}}{16}\)

\(a = \frac{12 \pm 4\sqrt{47}}{16}\)

\(a = \frac{3 \pm \sqrt{47}}{4}\)

কিন্তু প্রদত্ত উত্তর 1 এবং -6/5 🤔। তাহলে, অন্যভাবে সমাধান করা যাক।

P ও Q লম্ব হওয়ার শর্ত হলো:

\(a_1a_2 + b_1b_2 = 0 \) [সরলরেখার ক্ষেত্রে]

এখানে, P = (4a+4) এবং Q = (2a-5) ভেক্টর দুটি লম্ব।

সুতরাং, এদের ডট গুণফল শূন্য হবে। কিন্তু এখানে ডট গুণফল বের করার মতো কিছু নেই। যেহেতু শুধু P ও Q এর মান দেওয়া আছে, তাই এদের সাধারণ গুণফল -1 ধরে হিসাব করা হয়েছে।

যদি P ও Q দুটি সরলরেখার ঢাল হয়, তবে:

(4a+4)(2a-5) = -1 এই সমীকরণ সমাধান করে a এর মান বের করা হয়েছে।

এখন, যদি P ও Q এর ডিরেকশন কোসাইন দেওয়া থাকত তবে অন্যভাবে সমাধান করা যেত। 🤔

আবার, যদি P= (5a-a, 4) ও Q= (2a, -2-3) = (2a, -5) হয় তবে:

P = (4a, 4) এবং Q = (2a, -5)

\(P \cdot Q = 0 \)

\(8a^2 - 20 = 0 \)

\(a^2 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}\)

\(a = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}\)

প্রদত্ত উত্তর 1,-6/5 এর জন্য:

যদি a = 1 হয়, তবে P = 4(1) + 4 = 8 এবং Q = 2(1) - 5 = -3. সেক্ষেত্রে P*Q = -24 ≠ -1

যদি a = -6/5 হয়, তবে P = 4(-6/5) + 4 = -24/5 + 20/5 = -4/5 এবং Q = 2(-6/5) - 5 = -12/5 - 25/5 = -37/5. সেক্ষেত্রে P*Q = 148/25 ≠ -1

সুতরাং, প্রদত্ত উত্তরের সাথে উপরের কোনো সমাধানই মেলে না। 🤔 প্রদত্ত উত্তর ভুল হওয়ার সম্ভাবনা আছে। 🙏