l এর মান কত হলে  lhati - 2hatj+hatk  এবং  2lhati -l hatj - 4hatk  পরস্পর লম্ব হবে।

প্রশ্ন:

l এর মান কত হলে \( \vec{a} = l\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) এবং \( \vec{b} = 2l\hat{i} - l\hat{j} - 4\hat{k} \) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?

সমাধান:

দুটি ভেক্টর \(\vec{a}\) ও \(\vec{b}\) লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের ডট গুণফল শূন্য হওয়া, অর্থাৎ \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)।

এখানে, \( \vec{a} = l\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) এবং \( \vec{b} = 2l\hat{i} - l\hat{j} - 4\hat{k} \)।

সুতরাং, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (l)(2l) + (-2)(-l) + (1)(-4) = 0 \)

বা, \( 2l^2 + 2l - 4 = 0 \)

বা, \( l^2 + l - 2 = 0 \)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে সমাধান করে \(l\) এর মান নির্ণয় করা যায়।

\( l^2 + 2l - l - 2 = 0 \)

\( l(l + 2) - 1(l + 2) = 0 \)

\( (l - 1)(l + 2) = 0 \)

সুতরাং, \( l = 1 \) অথবা \( l = -2 \)।

অতএব, l এর মান 1 অথবা -2 হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে। 🎉

উত্তর: -2, 1