\( \vec{P} = a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) এবং \( \vec{Q} = 2a\hat{i} - a\hat{j} - 4\hat{k} \) পরস্পর লম্ব হলে, a এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন অনুযায়ী, দুটি ভেক্টর \( \vec{P} \) এবং \( \vec{Q} \) পরস্পর লম্ব (অর্থাৎ, তাদের ডট প্রোডাক্ট শূন্য) হলে, তাদের মান নির্ণয় করতে হবে। দেয়া হয়েছে: \[ \vec{P} = a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \] \[ \vec{Q} = 2a\hat{i} - a\hat{j} - 4\hat{k} \] প্রথমে, ডট প্রোডাক্ট বের করি: \[ \vec{P} \cdot \vec{Q} = (a)(2a) + (-2)(-a) + (1)(-4) \] সরলীকরণ করি: \[ \Rightarrow 2a^2 + 2a - 4 \] চাই যে, এই ডট প্রোডাক্ট শূন্য, অর্থাৎ: \[ 2a^2 + 2a - 4 = 0 \] অতএব, সমাধান করি: \[ a^2 + a - 2 = 0 \] এটি একটি বীজগণিত সমীকরণ। এর সমাধান হলো: \[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2 \times 1} \] \[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ a = \frac{-1 \pm 3}{2} \] এখানে, দুটি মান পাওয়া যায়: \[ a = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ a = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] অতএব, **a এর মান হলো: \(\boxed{1, -2}\)**।