a এর মান কত হলে  ahati-2hatj+hatk ও 2ahati-ahatj-4hatk ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হবে ?

ধরি, ভেক্টর \(\vec{A} = a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}\) এবং ভেক্টর \(\vec{B} = 2a\hat{i} - a\hat{j} - 4\hat{k}\)।

🤔 দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের ডট গুণফল শূন্য হওয়া। অর্থাৎ, \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 0\)।

এখন, \(\vec{A} \cdot \vec{B} = (a\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (2a\hat{i} - a\hat{j} - 4\hat{k})\)

\(= a(2a) + (-2)(-a) + (1)(-4)\)

\(= 2a^2 + 2a - 4\)

যেহেতু ভেক্টরদ্বয় লম্ব, তাই,

\(2a^2 + 2a - 4 = 0\)

\(\implies a^2 + a - 2 = 0\) (উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে)

এখন, আমরা এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করব:

\(a^2 + 2a - a - 2 = 0\)

\(\implies a(a + 2) - 1(a + 2) = 0\)

\(\implies (a - 1)(a + 2) = 0\)

সুতরাং, \(a = 1\) অথবা \(a = -2\)।

অতএব, a এর মান 1 অথবা -2 হলে ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব হবে। 🎉