\( \lambda \) এর কোন মানের জন্য \( 4\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k} \) এবং \( \lambda \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k} \) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?

প্রশ্নের সমাধান:

আমরা দুটি ভেক্টর দিচ্ছে:

• প্রথম ভেক্টর: \(\vec{A} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}\)
• দ্বিতীয় ভেক্টর: \(\vec{B} = \lambda \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}\)

দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব (অর্থাৎ, তাদের ডট প্রোডাক্ট শূন্য হবে):

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \]

এখন, ডট প্রোডাক্টের সূত্র অনুযায়ী:

\[ (4)(\lambda) + (2)(-3) + (-3)(2) = 0 \]

সমাধান করি:

\[ 4\lambda - 6 - 6 = 0 \]

\[ 4\lambda - 12 = 0 \]

অতএব,

\[ 4\lambda = 12 \]

\[ \lambda = \frac{12}{4} = 3 \]

উত্তর:

\(\boxed{3}\)