a hat i - 2 hat j + hat k  এবং  2a hat i - a hat j - 4 hat k  ভেক্টর দুইটি পরস্পর লম্ব হলে, a এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রথম ভেক্টর: \(\vec{A} = a \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}\) দ্বিতীয় ভেক্টর: \(\vec{B} = 2a \hat{i} - a \hat{j} - 4 \hat{k}\) যখন দুইটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হয়, তখন তাদের ডট প্রোডাক্ট শূন্য হয়: \[ \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 \] তাহলে, \[ (a)(2a) + (-2)(-a) + (1)(-4) = 0 \] বিন্যাস করি: \[ 2a^2 + 2a - 4 = 0 \] এই কোয়েশ্চেন সমাধান করি: \[ 2a^2 + 2a - 4 = 0 \] দ্বিগুণের মাধ্যমে সরলীকরণ: \[ a^2 + a - 2 = 0 \] এখন, এই কোয়েশ্চেনটির মূলগুলো খুঁজে বের করি: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] এখানে, \(a=1\), \(b=1\), \(c=-2\): \[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2 \times 1} \] \[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ a = \frac{-1 \pm 3}{2} \] অর্থাৎ, \[ a = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] বা \[ a = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] অতএব, **a এর মান:** \(\boxed{-2, 1}\) --- **উত্তর:** -2, 1