k-এর কোন মানের জন্য x²+y²-6x-4y+k=0 বৃত্তটি অক্ষকে স্পর্শ করে? 

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:

\(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\)

প্রদত্ত সমীকরণ:

\(x^2 + y^2 - 6x - 4y + k = 0\)

তুলনা করে পাই,

\(2g = -6 \implies g = -3\)

\(2f = -4 \implies f = -2\)

\(c = k\)

বৃত্তের কেন্দ্র \( (-g, -f) = (3, 2) \)

ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 - k} = \sqrt{9 + 4 - k} = \sqrt{13 - k} \)

বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করলে, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাঙ্ক = ব্যাসার্ধ

\(\implies |2| = \sqrt{13 - k}\)

\(\implies 4 = 13 - k\)

\(\implies k = 13 - 4 = 9\)

সুতরাং, বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করলে \( k = 9 \) হবে।

বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করলে, কেন্দ্রের \(x\) স্থানাঙ্ক = ব্যাসার্ধ

\(\implies |3| = \sqrt{13 - k}\)

\(\implies 9 = 13 - k\)

\(\implies k = 13 - 9 = 4\)

সুতরাং, বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করলে \( k = 4 \) হবে। 🎉

যেহেতু প্রশ্নে শুধু অক্ষকে স্পর্শ করার কথা বলা হয়েছে, তাই \(x\) অথবা \(y\) যেকোনো অক্ষকে স্পর্শ করতে পারে। কিন্তু উত্তরের অপশনে \(4\) দেওয়া আছে, তাই \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্তটি প্রযোজ্য। 🥳

অতএব, k-এর মান 4 🤩।