int_0^1(xe^x)^2=?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^1 (x e^x)^2 \, dx = ?\) উত্তর: \(\frac{1}{2}(e - 1)\) সমাধান: প্রথমে, প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি লিখি: \[ I = \int_0^1 (x e^x)^2 \, dx = \int_0^1 x^2 e^{2x} \, dx \] এখানে, \( u = x^2 \) এবং \( dv = e^{2x} dx \) হতে পারে। তবে, এই ইন্টিগ্রালটি সমাধানের জন্য ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করা সুবিধাজনক। \[ উপাদান: u = x^2 \Rightarrow du = 2x\, dx \] \[ dv = e^{2x} dx \Rightarrow v = \frac{1}{2} e^{2x} \] ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টসের সূত্র: \[ \int u\, dv = uv - \int v\, du \] প্রয়োগ করি: \[ I = u v \big|_0^1 - \int_0^1 v\, du \] প্রতিস্থাপন করি: \[ I = x^2 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \big|_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x} \cdot 2x\, dx \] \[ I = \frac{1}{2} \left[ x^2 e^{2x} \big|_0^1 \right] - \int_0^1 x e^{2x}\, dx \] Calculate প্রথম অংশ: \[ \frac{1}{2} [1^2 e^{2 \cdot 1} - 0] = \frac{1}{2} e^{2} \] এখন, দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালটি: \[ J = \int_0^1 x e^{2x}\, dx \] এটি আবার ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস দ্বারা সমাধান করা হবে: \[ u = x \Rightarrow du = dx \] \[ dv = e^{2x} dx \Rightarrow v = \frac{1}{2} e^{2x} \] তাহলে, \[ J = x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \big|_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{2} e^{2x} dx \] প্রথম অংশ: \[ \frac{1}{2} [1 \cdot e^{2} - 0] = \frac{1}{2} e^{2} \] দ্বিতীয় অংশ: \[ \frac{1}{2} \int_0^1 e^{2x} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \big|_0^1 = \frac{1}{4} (e^{2} - 1) \] অতএব, \[ J = \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{4} (e^{2} - 1) = \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{4} e^{2} + \frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) e^{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} e^{2} + \frac{1}{4} \] এখন, মূল ইন্টিগ্রাল: \[ I = \frac{1}{2} e^{2} - J = \frac{1}{2} e^{2} - \left( \frac{1}{4} e^{2} + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{4} e^{2} - \frac{1}{4} \] \[ I = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) e^{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} e^{2} - \frac{1}{4} \] সমাপ্তি: \[ \boxed{ \int_0^1 (x e^x)^2 \, dx = \frac{1}{4} (e^{2} - 1) } \] প্রদত্ত উত্তর: \(\frac{1}{2}(e - 1)\) এর সাথে তুলনা করলে দেখা যায় যে, এটি ভুল। সঠিক উত্তর হল: \[ \boxed{ \frac{1}{4} (e^{2} - 1) } \]