Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণ হলো:
\[
9x^{2} - 12x + 4 = 0
\]
এখানে, মূলদ্বয়গুলো \( \alpha \) এবং \( \beta \)। আমাদের লক্ষ্য হলো মূলদ্বয়গুলোর অনুপাত \( \alpha : \beta \) নির্ণয় করা।
ধাপ ১: সমীকরণের মূলসূত্র এবং মূলদ্বয়গুলো
একটি সমীকরণের সাধারণ রূপ হলো:
\[
ax^{2} + bx + c = 0
\]
এখানে, মূলদ্বয়গুলো হলো:
\[
\alpha + \beta = -\frac{b}{a}
\]
\[
\alpha \beta = \frac{c}{a}
\]
ধাপ ২: মূলদ্বয় নির্ণয়
সমীকরণে:
\[
a = 9, \quad b = -12, \quad c = 4
\]
অতএব,
\[
\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-12}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}
\]
\[
\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{4}{9}
\]
ধাপ ৩: মূলদ্বয়গুলোর অনুপাত নির্ণয়
ধরা যাক, প্রথম মূলদ্বয় হলো \( \alpha \) এবং দ্বিতীয়টি হলো \( \beta \)।
আমরা জানি:
\[
\alpha + \beta = \frac{4}{3}
\]
\[
\alpha \beta = \frac{4}{9}
\]
এখন, মূলদ্বয়গুলোর অনুপাত \( \alpha : \beta \) নির্ণয় করতে, ধরি:
\[
\alpha = k \beta
\]
তাহলে,
\[
\alpha + \beta = k \beta + \beta = (k + 1) \beta = \frac{4}{3}
\]
এবং,
\[
\alpha \beta = k \beta \times \beta = k \beta^{2} = \frac{4}{9}
\]
প্রথম সমীকরণ থেকে:
\[
\beta = \frac{4/3}{k+1}
\]
এখন, দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে দিই:
\[
k \left( \frac{4/3}{k+1} \right)^2 = \frac{4}{9}
\]
সরলীকরণ করি:
\[
k \times \frac{(4/3)^2}{(k+1)^2} = \frac{4}{9}
\]
\[
k \times \frac{16/9}{(k+1)^2} = \frac{4}{9}
\]
\[
\frac{16k}{9 (k+1)^2} = \frac{4}{9}
\]
উভয় পাশে 9 দ্বারা ভাগ করি:
\[
\frac{16k}{(k+1)^2} = 4
\]
এখন, উভয় পাশে \( (k+1)^2 \) দিয়ে গুণ করি:
\[
16k = 4 (k+1)^2
\]
বিস্তার করি:
\[
16k = 4 (k^2 + 2k + 1)
\]
\[
16k = 4k^2 + 8k + 4
\]
দুজনে সমান করে:
\[
4k^2 + 8k + 4 - 16k = 0
\]
\[
4k^2 - 8k + 4 = 0
\]
সাধারণ গুণনীয়ক করে:
\[
k^2 - 2k + 1 = 0
\]
এটি একটি সম্পূর্ণ ঘন সমীকরণ:
\[
(k - 1)^2 = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
k = 1
\]
অতএব, মূলদ্বয়গুলোর অনুপাত হলো:
\[
\alpha : \beta = k : 1 = 1 : 1
\]
উত্তর:
\[
\boxed{\text{অর্থাৎ, } \alpha : \beta = 1 : 1}
\]
**অর্থাৎ, মূলদ্বয়গুলোর অনুপাত হলো 1:1।**
