9x²-12x+4=0 সমীকরনের মুলদ্বয় ɑ ও β হলে,মুলদ্বয়ের অনুপাত(ɑ:β) কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণ হলো: \[ 9x^{2} - 12x + 4 = 0 \] এখানে, মূলদ্বয়গুলো \( \alpha \) এবং \( \beta \)। আমাদের লক্ষ্য হলো মূলদ্বয়গুলোর অনুপাত \( \alpha : \beta \) নির্ণয় করা।

ধাপ ১: সমীকরণের মূলসূত্র এবং মূলদ্বয়গুলো

একটি সমীকরণের সাধারণ রূপ হলো: \[ ax^{2} + bx + c = 0 \] এখানে, মূলদ্বয়গুলো হলো: \[ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \] \[ \alpha \beta = \frac{c}{a} \]

ধাপ ২: মূলদ্বয় নির্ণয়

সমীকরণে: \[ a = 9, \quad b = -12, \quad c = 4 \] অতএব, \[ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-12}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \] \[ \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{4}{9} \]

ধাপ ৩: মূলদ্বয়গুলোর অনুপাত নির্ণয়

ধরা যাক, প্রথম মূলদ্বয় হলো \( \alpha \) এবং দ্বিতীয়টি হলো \( \beta \)। আমরা জানি: \[ \alpha + \beta = \frac{4}{3} \] \[ \alpha \beta = \frac{4}{9} \] এখন, মূলদ্বয়গুলোর অনুপাত \( \alpha : \beta \) নির্ণয় করতে, ধরি: \[ \alpha = k \beta \] তাহলে, \[ \alpha + \beta = k \beta + \beta = (k + 1) \beta = \frac{4}{3} \] এবং, \[ \alpha \beta = k \beta \times \beta = k \beta^{2} = \frac{4}{9} \] প্রথম সমীকরণ থেকে: \[ \beta = \frac{4/3}{k+1} \] এখন, দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে দিই: \[ k \left( \frac{4/3}{k+1} \right)^2 = \frac{4}{9} \] সরলীকরণ করি: \[ k \times \frac{(4/3)^2}{(k+1)^2} = \frac{4}{9} \] \[ k \times \frac{16/9}{(k+1)^2} = \frac{4}{9} \] \[ \frac{16k}{9 (k+1)^2} = \frac{4}{9} \] উভয় পাশে 9 দ্বারা ভাগ করি: \[ \frac{16k}{(k+1)^2} = 4 \] এখন, উভয় পাশে \( (k+1)^2 \) দিয়ে গুণ করি: \[ 16k = 4 (k+1)^2 \] বিস্তার করি: \[ 16k = 4 (k^2 + 2k + 1) \] \[ 16k = 4k^2 + 8k + 4 \] দুজনে সমান করে: \[ 4k^2 + 8k + 4 - 16k = 0 \] \[ 4k^2 - 8k + 4 = 0 \] সাধারণ গুণনীয়ক করে: \[ k^2 - 2k + 1 = 0 \] এটি একটি সম্পূর্ণ ঘন সমীকরণ: \[ (k - 1)^2 = 0 \] অর্থাৎ, \[ k = 1 \] অতএব, মূলদ্বয়গুলোর অনুপাত হলো: \[ \alpha : \beta = k : 1 = 1 : 1 \]

উত্তর:

\[ \boxed{\text{অর্থাৎ, } \alpha : \beta = 1 : 1} \] **অর্থাৎ, মূলদ্বয়গুলোর অনুপাত হলো 1:1।**