tan15° এর মান কত?

tan 15° এর মান নির্ণয়

আমরা জানি, tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA tanB)

15° = 45° - 30°

অতএব, tan 15° = tan(45° - 30°)

সুতরাং, \( tan 15° = \frac{tan 45° - tan 30°}{1 + tan 45° tan 30°} \) 🤩

আমরা জানি, tan 45° = 1 এবং \( tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

মান বসিয়ে পাই,

\( tan 15° = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \) 😮

\( = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} \) 🤔

\( = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} \) 😉

\( = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \) 🥰

সুতরাং, tan 15° = \( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \) 🎉

বিকল্প পদ্ধতি:

আমরা জানি, \(tan(2\theta) = \frac{2tan(\theta)}{1-tan^2(\theta)}\).

ধরি, \( \theta = 15^\circ \), তাহলে \(2\theta = 30^\circ \).

সুতরাং, \(tan(30^\circ) = \frac{2tan(15^\circ)}{1-tan^2(15^\circ)}\).

আমরা জানি, \(tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). ধরি, \(tan(15^\circ) = x\).

তাহলে, \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2x}{1-x^2} \)

\( 1-x^2 = 2\sqrt{3}x \)

\( x^2 + 2\sqrt{3}x - 1 = 0 \)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। সুতরাং, \( x = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} \)

\( x = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 4}}{2} \)

\( x = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{16}}{2} \)

\( x = \frac{-2\sqrt{3} \pm 4}{2} \)

\( x = -\sqrt{3} \pm 2 \)

যেহেতু \(tan(15^\circ)\) ধনাত্মক, তাই \( x = 2 - \sqrt{3} \)

\( 2-\sqrt{3} = \frac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1} = \frac{2\sqrt{3}+2-3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \)