ABC ত্রিভুজের তিনটি বাহু a,b,c এবং পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R হলে-

Another Explanation (5): প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের তিনটি বাহু a, b, c এবং পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R হলে— উত্তর: প্রথমে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( \Delta \) নির্ণয় করি। পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ \( R \) হলে, ত্রিভুজের অর্ধবৃত্তের কেন্দ্র থেকে তিন বাহুর মধ্যে অর্ধেক দিকের দৈর্ঘ্য \( s = \frac{a + b + c}{2} \)। আমাদের লক্ষ্য হলো, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( \Delta \) এর সাথে বাহু \( a, b, c \) এবং \( R \) এর সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা করা। প্রথমত, জানি: \[ \text{সাধারণ ক্ষেত্রফল} \quad \Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \] অথবা, \[ \Delta = \frac{abc}{4R} \] এখন, এই সম্পর্কটি প্রমাণ করতে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করি। **প্রমাণ:** ত্রিভুজের অর্ধবৃত্তের কেন্দ্র থেকে বাহুগুলির মাঝপথে ক্ষত্রিয়ের কোণ \( \theta \) এর সাথে সম্পর্ক রয়েছে। ত্রিভুজের বাহুগুলির জন্য, \[ a = 2 R \sin A, \quad b = 2 R \sin B, \quad c = 2 R \sin C \] এবং, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: \[ \Delta = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2} \times 2 R \sin A \times 2 R \sin B \times \sin C \] অথবা, \[ \Delta = 2 R^2 \sin A \sin B \sin C \] এখন, ত্রিভুজের কোণগুলির জন্য, \[ \sin A \sin B \sin C = \frac{1}{8} (a c + b c + a b)/R^3 \quad \text{(বিশ্লেষণধারার জন্য)} \] তবে, সরাসরি, এই সম্পর্কের মাধ্যমে, \[ \Delta = \frac{abc}{4 R} \] **সুতরাং,** \[ \boxed{\Delta = \frac{abc}{4 R}} \]