কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের সাথে বিপরীত কোণের sin এর সম্পর্ক কি?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের সাথে বিপরীত কোণের sine এর সম্পর্ক কি?

উত্তর:

ত্রিভুজের একটি কোণের বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য \( a \), অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য \( b \) ও \( c \), এবং সেই কোণের বিপরীত কোণ \( A \) হলে, সাইন সম্পর্ক নিম্নরূপ:

সাইন সূত্র অনুযায়ী:

$$ \sin A = \frac{\text{বিপরীত বাহু} \, a}{\text{অভিমুখী বাহু বা এর উপর নির্ভরশীল অন্য বাহু}} $$ তবে, সাধারণত, এককভাবে কোন বাহুর সাথে কোণের সাইন এর সম্পর্ক বোঝাতে হলে, সাইন এর সাথে বাহুর দৈর্ঘ্যের সম্পর্ক হলো পরস্পর সমানুপাতিক। অর্থাৎ, যদি দুটি ত্রিভুজ থাকে, তাহলে: $$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$ যেখানে, \( R \) হলো ত্রিভুজের ব্যাসার্ধ ঐক্যবদ্ধ (Circumradius)। এখানে দেখা যায়, বাহুর দৈর্ঘ্য \( a, b, c \) এর সাথে বিপরীত কোণের সাইন এর সম্পর্ক হলো: $$ a \propto \sin A,\quad b \propto \sin B,\quad c \propto \sin C $$ অর্থাৎ, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য এবং বিপরীত কোণের সাইন পরস্পর সমানুপাতিক।

সংক্ষেপে:

বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য এবং বিপরীত কোণের সাইন এর মধ্যে সম্পর্ক হলো:

$$ a : \sin A = b : \sin B = c : \sin C $$ অর্থাৎ, প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তার বিপরীত কোণের সাইন এর মধ্যে পরস্পর সমানুপাতিক সম্পর্ক বিদ্যমান।