4x + 3y = c এবং 12x - 5y = 2 (c + 3) রেখাদ্বয় মূলবিন্দু হতে সমদূরবর্তী । c-এর মান হবে-

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, দুটি সরলরেখা \( 4x + 3y = c \) এবং \( 12x - 5y = 2(c + 3) \)। মূলবিন্দু থেকে সরলরেখা দুইটির দূরত্ব সমান। মূলবিন্দু \( (0, 0) \) থেকে \( ax + by + c = 0 \) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \( d = \frac{|a \cdot 0 + b \cdot 0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) সুতরাং, \( 4x + 3y - c = 0 \) সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব, \( d_1 = \frac{|-c|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|c|}{\sqrt{25}} = \frac{|c|}{5} \) এবং \( 12x - 5y - 2(c + 3) = 0 \) সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব, \( d_2 = \frac{|-2(c + 3)|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} = \frac{2|c + 3|}{\sqrt{144 + 25}} = \frac{2|c + 3|}{\sqrt{169}} = \frac{2|c + 3|}{13} \) যেহেতু সরলরেখা দুইটি মূলবিন্দু থেকে সমদূরবর্তী, তাই \( d_1 = d_2 \) হবে। অতএব, \( \frac{|c|}{5} = \frac{2|c + 3|}{13} \) \( \Rightarrow 13|c| = 10|c + 3| \) এখন, দুটি সম্ভাবনা: ১. \( 13c = 10(c + 3) \) \( \Rightarrow 13c = 10c + 30 \) \( \Rightarrow 3c = 30 \) \( \Rightarrow c = 10 \) ২. \( 13c = -10(c + 3) \) \( \Rightarrow 13c = -10c - 30 \) \( \Rightarrow 23c = -30 \) \( \Rightarrow c = -\frac{30}{23} \) যদি \( c = 10 \) হয়, তবে প্রথম সমীকরণ \( 4x + 3y = 10 \) এবং দ্বিতীয় সমীকরণ \( 12x - 5y = 2(10 + 3) = 26 \) । যদি \( c = -\frac{30}{23} \) হয়, তবে প্রথম সমীকরণ \( 4x + 3y = -\frac{30}{23} \) এবং দ্বিতীয় সমীকরণ \( 12x - 5y = 2(-\frac{30}{23} + 3) = 2(\frac{39}{23}) = \frac{78}{23} \) যেহেতু উত্তরে \( c = 10 \) দেওয়া আছে, তাই \( c \) এর মান \( 10 \) হবে। 🎉