\( \vec{b} = 6\hat{i} + 7\hat{j} - 6\hat{k} \) ভেক্টর বরাবর \( \vec{a} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) ভেক্টরের উপাংশ হল-

প্রশ্ন: ভেক্টর \( \vec{b} = 6\hat{i} + 7\hat{j} - 6\hat{k} \) এর সাথে ভেক্টর \( \vec{a} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) এর উপাংশ (projection) নির্ণয় করতে বলেছে।

উত্তর: \( \textbf{Projection of } \vec{a} \text{ on } \vec{b} = -\frac{8}{121} \vec{b} \)

সমাধান:

প্রথমত, ভেক্টর উপাংশ (projection) হিসাবের জন্য নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করা হয়:

\( \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \)

ধাপ ১: ভেক্টর গুলোর ডট প্রোডাক্ট নির্ণয় করুন:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(6) + (-2)(7) + (1)(-6) = 12 - 14 - 6 = -8 \)

ধাপ ২: \( |\vec{b}|^2 \) নির্ণয় করুন:

\( |\vec{b}|^2 = 6^2 + 7^2 + (-6)^2 = 36 + 49 + 36 = 121 \)

ধাপ ৩: উপাংশের মান নির্ণয় করুন:

\[ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{-8}{121} \right) \vec{b} \]

অর্থাৎ,

\( \boxed{ \text{Projection} = -\frac{8}{121} \vec{b} } \)