একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয়ের সাথে প্রথম চতুর্ভাগে 8 বর্গএকক ক্ষেত্রফল উৎপন্ন করে এবং (1,4) বিন্দুগামী। সরলরেখাটির সমীকরণ নিচের কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন অনুযায়ী, একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয়ের সাথে প্রথম চতুর্ভাগে 8 বর্গএকক ক্ষেত্রফল উৎপন্ন করে এবং বিন্দু (1,4) দিয়ে যায়।  
অক্ষদ্বয় হলো \(x\)-অক্ষ ও \(y\)-অক্ষ।  
প্রথম চতুর্ভাগে বলতে বোঝায়, যেখানে \(x > 0\) এবং \(y > 0\)।  

ধরি রেখাটির সমীকরণ: \(ax + by + c = 0\)।  

চতুর্ভাগে ক্ষেত্রফল হলোঃ  
এখানে, রেখার সাথে অক্ষদ্বয়ের ছেদ বিন্দুগুলো হল:  
- \(x\)-অক্ষের জন্য: \(y=0\)  
- \(y\)-অক্ষের জন্য: \(x=0\)  

রেখার অক্ষদ্বয়ের সাথে ছেদ বিন্দুগুলো:  
- \(x\)-অক্ষের জন্য: \(ax + c=0 \Rightarrow x = -\frac{c}{a}\)  
- \(y\)-অক্ষের জন্য: \(by + c=0 \Rightarrow y = -\frac{c}{b}\)  

প্রথম চতুর্ভাগে, যেখানে \(x > 0, y > 0\),  
সুতরাং, অক্ষদ্বয়ের সাথে রেখার ছেদ বিন্দুগুলো হলো:  
\(A\left(-\frac{c}{a}, 0\right)\) এবং \(B\left(0, -\frac{c}{b}\right)\)।  

ট্রায়াঙ্গেলটির ক্ষেত্রফল:  
\[
\text{Area} = \frac{1}{2} \times \left| -\frac{c}{a} \right| \times \left| -\frac{c}{b} \right| = \frac{1}{2} \times \frac{c^2}{|a||b|} \quad (\text{চতুর্ভাগে, } a, b<0 \Rightarrow |a|=-a, |b|=-b)
\]

যেহেতু, প্রথম চতুর্ভাগে ক্ষেত্রফল 8,  
সুতরাং:  
\[
\frac{1}{2} \times \frac{c^2}{|a||b|} = 8 \Rightarrow \frac{c^2}{2|a||b|} = 8 \Rightarrow c^2 = 16|a||b|
\]

এখন, রেখাটির বিন্দু \((1,4)\) দিয়ে যায়,  
সুতরাং:  
\[
a(1) + b(4) + c = 0 \Rightarrow a + 4b + c=0
\]

এখন, ধরি \(a = 4\), \(b=1\) (অর্থাৎ, সমীকরণে \(a\) ও \(b\) এর মান নির্ণয় করতে হবে)।

এখন, \(c\) এর মান:  
\[
a + 4b + c=0 \Rightarrow 4 + 4(1) + c=0 \Rightarrow 4 + 4 + c=0 \Rightarrow c = -8
\]

চেক করি, ক্ষেত্রফল:  
\[
c^2 = 64
\]
\[
|a||b|=|4||1|=4
\]
\[
c^2 = 16|a||b| \Rightarrow 64 = 16 \times 4=64 \quad \সঠিক
\]

অর্থাৎ, রেখার সমীকরণ:  
\[
ax + by + c=0 \Rightarrow 4x + y -8=0
\]

অথবা,  
\[
4x + y = 8
\]

**উত্তর: \(\boxed{4x + y = 8}\)**