3x + ky - 1 = 0 রেখাটি x² + y² - 8x - 2y + 4 = 0 বৃত্তকে স্পর্শ করলে k এর মান কত ?  

দেওয়া আছে, সরলরেখা 3x + ky - 1 = 0 এবং বৃত্ত x² + y² - 8x - 2y + 4 = 0 🧐

বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়:

x² + y² - 8x - 2y + 4 = 0 বৃত্তকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,

2g = -8 ⇒ g = -4

2f = -2 ⇒ f = -1

c = 4

সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র C = (-g, -f) = (4, 1) 🤩

এবং ব্যাসার্ধ r = √{g² + f² - c} = √{(-4)² + (-1)² - 4} = √(16 + 1 - 4) = √13 🤗

যেহেতু সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, তাই কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে। অর্থাৎ,

|(3 * 4 + k * 1 - 1) / √(3² + k²)| = √13 🙏

⇒ |12 + k - 1| / √(9 + k²) = √13

⇒ |11 + k| / √(9 + k²) = √13

এখন, উভয় দিকে বর্গ করে পাই,

(11 + k)² / (9 + k²) = 13

⇒ (11 + k)² = 13(9 + k²)

⇒ 121 + 22k + k² = 117 + 13k²

⇒ 12k² - 22k - 4 = 0

⇒ 6k² - 11k - 2 = 0

এখন, k এর মান নির্ণয় করার জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করি:

6k² - 11k - 2 = 0

⇒ 6k² - 12k + k - 2 = 0

⇒ 6k(k - 2) + 1(k - 2) = 0

⇒ (6k + 1)(k - 2) = 0

সুতরাং, k = 2 অথবা k = -1/6 😎

অতএব, k এর মান 2 অথবা -1/6।

k = 2, -1/6