∫_-1^1 |x| dx  এর মান =?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_{-1}^{1} |x| \, dx\) এর মান কি? উত্তর: 1 সমাধান: \[ \int_{-1}^{1} |x| \, dx \] আমরা লক্ষ্য করি যে, \( |x| \) এর মান \( x \geq 0 \) এর জন্য \( x \), এবং \( x < 0 \) এর জন্য \( -x \)। তাই, অঙ্কন অনুযায়ী, ইন্টিগ্রেশনটি দুই ভাগে বিভক্ত করা যায়: \[ \int_{-1}^{0} |x| \, dx + \int_{0}^{1} |x| \, dx \] এখন, প্রথম অংশে যখ??? \( x \) নেতিবাচক, তখন \( |x| = -x \), এবং দ্বিতীয় অংশে যখন \( x \) ধনাত্মক, তখন \( |x| = x \)। অতএব, \[ = \int_{-1}^{0} -x \, dx + \int_{0}^{1} x \, dx \] প্রথম ইন্টিগ্রাল: \[ \int_{-1}^{0} -x \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = \left( -\frac{0^2}{2} \right) - \left( -\frac{(-1)^2}{2} \right) = 0 - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \] দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল: \[ \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{1} = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2} \] অতএব, \[ \int_{-1}^{1} |x| \, dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]