int_0^1x/(sqrt(1-x^2))dx   এর মান -

Explanation:

Another Explanation (3):

∫₀¹ x / √(1 - x²) dx এর মান -

1. 1/2 (Incorrect)
2. π/√2 (Incorrect)
3. 1 (Correct)
4. π/2 (Incorrect)

সমাকল নির্ণয়

আমাদের ∫₀¹ x / √(1 - x²) dx এই নির্দিষ্ট সমাকলটির মান নির্ণয় করতে হবে।

প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method)

এই সমাকলটি সমাধান করার জন্য আমরা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। আমরা 1 - x² = z ধরে নেই।

তাহলে, -2x dx = dz

বা, x dx = -dz / 2

সীমার পরিবর্তন

যেহেতু আমরা চলক পরিবর্তন করছি, তাই আমাদের সমাকলের সীমাও পরিবর্তন করতে হবে:

• যখন x = 0, তখন z = 1 - 0² = 1
• যখন x = 1, তখন z = 1 - 1² = 0

সমাকলের পরিবর্তন

এখন আমরা প্রতিস্থাপন এবং সীমার পরিবর্তন করে সমাকলটি লিখি:

∫₀¹ x / √(1 - x²) dx = ∫₁⁰ (1 / √z) (-dz / 2)

= -½ ∫₁⁰ z^(-½) dz

সমাকল সমাধান

আমরা এখন z^(-½) এর সমাকল নির্ণয় করি:

∫ z^(-½) dz = z^(-½ + 1) / (-½ + 1) + C = z^(½) / (½) + C = 2√z + C

নির্দিষ্ট সমাকলের মান নির্ণয়

এখন আমরা নির্দিষ্ট সমাকলের মান বের করি:

-½ [2√z]₁⁰ = -½ [2√0 - 2√1]

= -½ [0 - 2]

= -½ (-2)

= 1

ফলাফল

সুতরাং, ∫₀¹ x / √(1 - x²) dx এর মান 1।

বিকল্পগুলোর বিশ্লেষণ

এখন আমরা বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করে দেখব কোনটি সঠিক:

1. 1/2 (Incorrect)
2. π/√2 (Incorrect)
3. 1 (Correct)
4. π/2 (Incorrect)

সিদ্ধান্ত

উপরের হিসাব থেকে দেখা যাচ্ছে যে, নির্দিষ্ট সমাকলটির মান 1।

টেবিলের মাধ্যমে উপস্থাপন

বিষয়টি আরও সহজে বোঝার জন্য একটি টেবিলের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হলো:

ধাপ	কার্যক্রম	ফলাফল
1	প্রতিস্থাপন ধরা	1 - x² = z, x dx = -dz / 2
2	সীমার পরিবর্তন	x = 0 ⇒ z = 1, x = 1 ⇒ z = 0
3	সমাকলের পরিবর্তন	-½ ∫₁⁰ z^(-½) dz
4	সমাকল সমাধান	-½ [2√z]₁⁰
5	নির্দিষ্ট সমাকলের মান	-½ (0 - 2) = 1

সঠিক উত্তর: C. 1

Another Explanation (5): bài toán: \(\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx\) 🧐 giải: ধরি, \(1-x^2 = z\) 😊 অতএব, \(-2x dx = dz\) বা, \(x dx = -\frac{1}{2} dz\) 😉 যখন \(x = 0\), তখন \(z = 1-0^2 = 1\) 🤓 যখন \(x = 1\), তখন \(z = 1-1^2 = 0\) 😎 সুতরাং, \(\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_1^0 \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{z}} dz\) 👍 \(= -\frac{1}{2} \int_1^0 z^{-\frac{1}{2}} dz\) \(= \frac{1}{2} \int_0^1 z^{-\frac{1}{2}} dz\) 😇 \(= \frac{1}{2} \left[ \frac{z^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_0^1\) 🤩 \(= \frac{1}{2} \cdot 2 \left[ \sqrt{z} \right]_0^1\) 🥳 \(= \left[ \sqrt{1} - \sqrt{0} \right]\) 😲 \(= 1 - 0 = 1\) 🥳 উত্তর: 1 🎉