int(x^2)/(e^(x^(3))+e^(-x^(3)))dx এর মান কত?

ধরি, \(I = \int \frac{x^2}{e^{x^3} + e^{-x^3}} dx \)

আমরা লিখতে পারি, \(I = \int \frac{x^2 e^{x^3}}{e^{2x^3} + 1} dx \)

ধরি, \(u = e^{x^3}\). তাহলে, \(\frac{du}{dx} = 3x^2 e^{x^3}\) অথবা, \(du = 3x^2 e^{x^3} dx\)

সুতরাং, \(x^2 e^{x^3} dx = \frac{1}{3} du\)

তাহলে, \(I = \int \frac{1}{u^2 + 1} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^2 + 1} du\)

আমরা জানি, \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \tan^{-1}(x) + C\)

সুতরাং, \(I = \frac{1}{3} \tan^{-1}(u) + C\)

u এর মান বসিয়ে পাই,

\(I = \frac{1}{3} \tan^{-1}(e^{x^3}) + C\)

অতএব, \(\int \frac{x^2}{e^{x^3} + e^{-x^3}} dx = \frac{1}{3} \tan^{-1}(e^{x^3}) + C\)