a-এর কোন মানের জন্য 2î+ĵ-k̂, 3î-2ĵ+4k̂ এবং î-3ĵ+ak̂ ভেক্টরত্রয় সমতলীয়? 

ধরি, ভেক্টর তিনটি হলো:

\(\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}\)

\(\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}\)

\(\vec{c} = \hat{i} - 3\hat{j} + a\hat{k}\)

ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হওয়ার শর্ত হলো, এদের স্কেলার ট্রিপল গুণফল শূন্য হবে। অর্থাৎ,

\([\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}] = 0\)

স্কেলার ট্রিপল গুণফলকে নির্ণায়কের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

\([\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}] = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & -3 & a \end{vmatrix}\)

এখন, নির্ণায়কের মান বের করি:

\(= 2 \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -3 & a \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & a \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}\)

\(= 2(-2a + 12) - (3a - 4) - (-9 + 2)\)

\(= -4a + 24 - 3a + 4 + 7\)

\(= -7a + 35\)

যেহেতু ভেক্টর তিনটি সমতলীয়, তাই:

\(-7a + 35 = 0\)

\(\Rightarrow 7a = 35\)

\(\Rightarrow a = \frac{35}{7}\)

\(\Rightarrow a = 5\)

অতএব, a-এর মান 5 হলে ভেক্টরত্রয় সমতলীয় হবে। 🎉