int_0^(π/4)(tan^3x+tanx)dx=?

Explanation:

Another Explanation (5): চলো সমাধান করা যাক! 🧐 প্রথমে, ইন্টিগ্রালটিকে একটু সরল করি: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan^3 x + \tan x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x (\tan^2 x + 1) \, dx \] আমরা জানি, \(\sec^2 x = \tan^2 x + 1\). সুতরাং, \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \sec^2 x \, dx \] এখন, \(u = \tan x\) ধরলে, \(du = \sec^2 x \, dx\) হয়। 👍 যখন \(x = 0\), \(u = \tan 0 = 0\). যখন \(x = \frac{\pi}{4}\), \(u = \tan \frac{\pi}{4} = 1\). সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি \(u\) এর সাপেক্ষে পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়: \[ \int_{0}^{1} u \, du \] এটি একটি সাধারণ ইন্টিগ্রাল। এর মান হলো: \[ \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \] সুতরাং, উত্তরটি হলো \(\frac{1}{2}\). 🎉