√(e^√x) এর অন্তরজ নিচের কোনটি?

প্রশ্ন: √(e^√x) এর অন্তরজ নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, y = √(e^√x) = (e^√x)^1/2 = e^{√x / 2}

এখন, x এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় করি,

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (e^{\frac{\sqrt{x}}{2}})\)

আমরা জানি, \(\frac{d}{dx} e^{f(x)} = e^{f(x)} \cdot f'(x)\)

সুতরাং, \(\frac{dy}{dx} = e^{\frac{\sqrt{x}}{2}} \cdot \frac{d}{dx} (\frac{\sqrt{x}}{2})\)

\(= e^{\frac{\sqrt{x}}{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{x})\)

আমরা জানি, \(\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

সুতরাং, \(\frac{dy}{dx} = e^{\frac{\sqrt{x}}{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

\(= \frac{e^{\frac{\sqrt{x}}{2}}}{4\sqrt{x}}\)

\(= \frac{e^{\sqrt{x}/2}}{4\sqrt{x}}\)

\(= \frac{\sqrt{e^{\sqrt{x}}}}{4\sqrt{x}}\)

\(= \frac{e^{\sqrt{x}}}{4\sqrt{xe^{\sqrt{x}}}}\) 😲

অতএব, √(e^√x) এর অন্তরজ হল \(\frac{e^{\sqrt{x}}}{4\sqrt{xe^{\sqrt{x}}}}\).

উত্তর: \( \frac{e^{\sqrt{x}}}{4\sqrt{xe^{\sqrt{x}}}} \)