(1,0) বিন্দু এবং x+1=0 সরলরেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দু সমূহের সেট যে সঞ্চার পথ গঠন করে তার সমীকরণ হবে- 

প্রশ্ন:

(1,0) বিন্দু এবং x+1=0 সরলরেখা থেকে সমদূরবর্তী বিন্দু সমূহের সেট যে সঞ্চার পথ গঠন করে তার সমীকরণ হবে-

উত্তর: \(y^2 = 4x\)

সমাধান:

মনে করি, সঞ্চার পথের উপর যেকোনো একটি বিন্দু \(P(x, y)\)।

প্রশ্নানুসারে, \(P\) বিন্দু থেকে (1, 0) বিন্দুর দূরত্ব এবং \(x + 1 = 0\) সরলরেখার দূরত্ব সমান।

\((x_1, y_1)\) ও \((x_2, y_2)\) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব \( = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

সুতরাং, \(P(x, y)\) থেকে (1, 0) বিন্দুর দূরত্ব \( = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}\)

আবার, \(P(x, y)\) থেকে \(x + 1 = 0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব \( = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)

এখানে, \(A = 1, B = 0, C = 1\)। সুতরাং, লম্ব দূরত্ব \( = \frac{|x + 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = |x + 1|\)

যেহেতু দূরত্ব সমান, তাই:

\(\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = |x + 1|\)

উভয় দিকে বর্গ করে পাই:

\((x - 1)^2 + y^2 = (x + 1)^2\)

\(x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1\)

\(y^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1\)

\(y^2 = 4x\)

অতএব, নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ \(y^2 = 4x\)। 🎉