intx/(sqrt(1-x^2))dx= কত?

সমাধান:

আমাদের ইন্টিগ্রালটি হল:

\[I = \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx\]

প্রথমত, আমরা পরিবর্তনশীল ব্যবহার করব। ধরুন, \( u = 1 - x^2 \), তাহলে:

\[ du = -2x\, dx \Rightarrow x\, dx = -\frac{du}{2} \]

এখন, ইন্টিগ্রালটি লিখি:

\[ I = \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx = \int \frac{x}{\sqrt{u}}\, dx \]

এখন, \( x\, dx = -\frac{du}{2} \), তাই:

\[ I = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \left(-\frac{du}{2}\right) = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}}\, du \]

অন্তর্নিহিত ইন্টিগ্রালটি হল:

\[ \int u^{-\frac{1}{2}}\, du = 2 u^{\frac{1}{2}} + C \]

অতএব,

\[ I = -\frac{1}{2} \times 2 u^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{u} + C \]

পর্দা \( u = 1 - x^2 \), তাই:

\[ I = -\sqrt{1 - x^2} + C \]

উত্তর:

\[ \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx = -\sqrt{1 - x^2} + C \]