3x² + 3y² - 7x + 5y + 1 = 0 বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাংক কোনটি?

সমাধানঃ

প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণঃ

\( 3x^2 + 3y^2 - 7x + 5y + 1 = 0 \)

প্রথমে, সমীকরণকে সাধারণ বৃত্তের সমীকরণে রূপান্তর করার জন্য, প্রতিটি পদে 3 দ্বারা ভাগ করি:

\[ x^2 + y^2 - \frac{7}{3}x + \frac{5}{3}y + \frac{1}{3} = 0 \]

এখন, আমরা \(x\) ও \(y\) এর জন্য পূর্ণবর্গ সম্পন্ন করব।

1. \(x\) এর জন্য:

\[ x^2 - \frac{7}{3}x \]

এতে পূর্ণবর্গ করার জন্য, \(\left(\frac{\text{আধা coefficient of } x}{2}\right)^2\) যোগ ও বিয়োগ করি:

\[ x^2 - \frac{7}{3}x + \left(\frac{7/3}{2}\right)^2 - \left(\frac{7/3}{2}\right)^2 \]

\[ x^2 - \frac{7}{3}x + \left(\frac{7}{6}\right)^2 - \left(\frac{7}{6}\right)^2 \]

\[ \left( x - \frac{7}{6} \right)^2 - \frac{49}{36} \]

2. \(y\) এর জন্য:

\[ y^2 + \frac{5}{3}y \]

এতে পূর্ণবর্গ করার জন্য, \(\left(\frac{\text{আধা coefficient of } y}{2}\right)^2\) যোগ ও বিয়োগ করি:

\[ y^2 + \frac{5}{3}y + \left(\frac{5/3}{2}\right)^2 - \left(\frac{5/3}{2}\right)^2 \]

\[ y^2 + \frac{5}{3}y + \left(\frac{5}{6}\right)^2 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 \]

\[ \left( y + \frac{5}{6} \right)^2 - \frac{25}{36} \]

সমীকরণে স্থানান্তর:

সমীকরণে এই পূর্ণবর্গগুলি বসাই:

\[ \left( x - \frac{7}{6} \right)^2 - \frac{49}{36} + \left( y + \frac{5}{6} \right)^2 - \frac{25}{36} + \frac{1}{3} = 0 \]

সমীকরণ পুনর্বিন্যাস করে:

\[ \left( x - \frac{7}{6} \right)^2 + \left( y + \frac{5}{6} \right)^2 = \frac{49}{36} + \frac{25}{36} - \frac{1}{3} \]

এখানে, \(\frac{1}{3} = \frac{12}{36}\), তাই:

\[ \left( x - \frac{7}{6} \right)^2 + \left( y + \frac{5}{6} \right)^2 = \frac{49 + 25 - 12}{36} = \frac{62}{36} = \frac{31}{18} \]

অতএব, বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:

\[ \left( \frac{7}{6}, -\frac{5}{6} \right) \]