(2,3) কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্ত x-অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: (2,3) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত x-অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটি দ্বারা y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ কত একক?

সমাধান:

ধরা যাক, বৃত্তের কেন্দ্র \(C(2, 3)\) এবং এর ধ্রুবক রেডিয়াস \(r\)।

কারণ বৃত্তটি x-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই এর স্পর্শ বিন্দুটি (সাধারণত, \(y=0\)) এ অবস্থিত এবং এই বিন্দুটি কেন্দ্রের থেকে রেডিয়াসের সমান দূরত্বে।

প্রথম ধাপ:

কেন্দ্র থেকে x-অক্ষের দূরত্ব = রেডিয়াস \(r\)।

কেন্দ্রের y-অক্ষের দূরত্ব = \(|y_{কেন্দ্র} - 0| = |3 - 0| = 3\)

অতএব, রেডিয়াস \(r = 3\)

দ্বিতীয় ধাপ:

এখন, বৃত্তের সমীকরণ হয়:

\[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = r^2 = 9 \]

তৃতীয় ধাপ:

y-অক্ষের সাথে ইন্টারসেকশনের জন্য, x=0 স্থাপন করি।

তাহলে, সমীকরণ হবে:

\[ (0 - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9 \]

\[ 4 + (y - 3)^2 = 9 \]

\[ (y - 3)^2 = 5 \]

অতএব,

\[ y - 3 = \pm \sqrt{5} \]

???র্থাৎ,

\[ y = 3 \pm \sqrt{5} \]

চতুর্থ ধাপ:

y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ হল দুই বিন্দুর y-মানের পার্থক্য:

\[ \Delta y = (3 + \sqrt{5}) - (3 - \sqrt{5}) = 2 \sqrt{5} \]

উত্তর:

অতএব, y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের পরিমাণ হলো 2√5 একক।