Explanation:

Another Explanation (5): \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \) আমরা জানি, \(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \) সুতরাং, \( \cos x - 1 = - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \) তাহলে, \( \frac{\cos x - 1}{x^2} = - \frac{1}{2!} + \frac{x^2}{4!} - \frac{x^4}{6!} + \dots \) এখন, \(x \to 0\) হলে, \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( - \frac{1}{2!} + \frac{x^2}{4!} - \frac{x^4}{6!} + \dots \right) \) \( = - \frac{1}{2} + 0 - 0 + \dots \) \( = - \frac{1}{2} \) \( = -0.5 \) L'Hopital's rule ব্যবহার করে: \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \) যেহেতু \(x = 0\) বসালে \(\frac{0}{0}\) form আসে, তাই L'Hopital's rule ব্যবহার করা যায়। প্রথমবার differentiate করে পাই: \( \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x} \) এখানেও \(x = 0\) বসালে \(\frac{0}{0}\) form আসে। সুতরাং, আবার differentiate করি। দ্বিতীয়বার differentiate করে পাই: \( \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2} = \frac{-\cos 0}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5 \) সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -0.5 \) উত্তর: -0.5 🎉