\( \tan^{-1}1+ \tan^{-1}2+ \tan^{-1}3 \) এর মান কোনটি?

প্রথমে আমরা জানি যে,

\[ \tan^{-1}a + \tan^{-1}b = \tan^{-1} \left( \frac{a + b}{1 - ab} \right) \text{ যখন } 1 - ab \neq 0 \]

তাহলে, প্রথম দুটি আর্গামেন্টের যোগফল নির্ণয় করি:

\[ \begin{aligned} & \tan^{-1}1 + \tan^{-1}2 \\ &= \tan^{-1} \left( \frac{1 + 2}{1 - (1)(2)} \right) \\ &= \tan^{-1} \left( \frac{3}{1 - 2} \right) \\ &= \tan^{-1} \left( \frac{3}{-1} \right) \\ &= \tan^{-1}(-3) \\ &= - \tan^{-1} 3 \end{aligned} \]

এখন, মূল অভিব্যক্তি হলো:

\[ \begin{aligned} & \tan^{-1}1 + \tan^{-1}2 + \tan^{-1}3 \\ &= \left( - \tan^{-1} 3 \right) + \tan^{-1} 3 \\ &= 0 \end{aligned} \]

তবে, এই ফলাফলটি আমাদের অপ্রত্যাশিত মনে হতে পারে কারণ আমরা প্রথমে মনে করি যে, এই যোগফল কি \( \pi \) বা অন্য মান হবে। আসলে, আমাদের ভুল হয়েছে কারণ, \(\tan^{-1}a + \tan^{-1}b = \tan^{-1} \left( \frac{a + b}{1 - ab} \right)\) এই সূত্রটি প্রয়োগের জন্য, যখন \(1 - ab \neq 0\)।

অতএব, আসুন অন্য উপায় অবলম্বন করি।

তাদের মান অনুযায়ী,

\[ \begin{aligned} & \tan^{-1}1 = \frac{\pi}{4} \\ & \tan^{-1}2 \text{ এর মানের কাছাকাছি } 63.4349^\circ \approx 1.107 \text{ রেডিয়ান} \\ & \tan^{-1}3 \text{ এর মানের কাছাকাছি } 71.565^\circ \approx 1.249 \text{ রেডিয়ান} \\ \end{aligned} \]

তাহলে, যোগফল হবে:

\[ \frac{\pi}{4} + 1.107 + 1.249 \approx 0.785 + 1.107 + 1.249 \approx 3.141 \approx \pi \]

অর্থাৎ, মূল যোগফলটি প্রায় \(\pi\) এর সমান।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো:

উত্তর: \( \pi \)