যদি cos(A+B) sin(C+D) = cos(A-B) sin(C-D) হয়, তাহলে tanD এর মান কোনটি?

প্রশ্ন: যদি \( \cos(A+B) \sin(C+D) = \cos(A-B) \sin(C-D) \) হয়, তাহলে \( \tan D \) এর মান কোনটি?

সমাধান:

আমরা জানি, \( \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \) এবং \( \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)।

একইভাবে, \( \sin(C+D) = \sin C \cos D + \cos C \sin D \) এবং \( \sin(C-D) = \sin C \cos D - \cos C \sin D \)।

প্রদত্ত সমীকরণটি হল:

\( \cos(A+B) \sin(C+D) = \cos(A-B) \sin(C-D) \)

মান বসিয়ে পাই:

\( (\cos A \cos B - \sin A \sin B) (\sin C \cos D + \cos C \sin D) = (\cos A \cos B + \sin A \sin B) (\sin C \cos D - \cos C \sin D) \)

গুণ করে পাই:

\( \cos A \cos B \sin C \cos D + \cos A \cos B \cos C \sin D - \sin A \sin B \sin C \cos D - \sin A \sin B \cos C \sin D = \cos A \cos B \sin C \cos D - \cos A \cos B \cos C \sin D + \sin A \sin B \sin C \cos D - \sin A \sin B \cos C \sin D \)

পক্ষান্তর করে পাই:

\( 2 \cos A \cos B \cos C \sin D = 2 \sin A \sin B \sin C \cos D \)

অতএব,

\( \frac{\sin D}{\cos D} = \frac{\sin A \sin B \sin C}{\cos A \cos B \cos C} \)

সুতরাং,

\( \tan D = \tan A \tan B \tan C \)

অতএব, \( \tan D \) এর মান \( \tan A \tan B \tan C \)। 🎉