\(\int_1^0 \frac{dx}{\sqrt{4 - 3x^2}}\) এর মান কোনটি?

প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের ইন্টেগ্রালটি হলো:

\[ \int_1^0 \frac{dx}{\sqrt{4 - 3x^2}} \]

প্রথমে, সীমাবলীর পরিবর্তন করি যাতে ইন্টেগ্রালটি সুবিধাজনক হয়। যেহেতু সীমাবলীর বিপরীত দিক রয়েছে, আমরা ইন্টেগ্রালটির মান নির্ণয় করি:

সাধারণত, ইন্টেগ্রালটির জন্য আমরা সীমা পরিবর্তন করি যাতে সেটি বৃদ্ধি ক্রমানুসারে হয়। অর্থাৎ, আমরা জানি:

\[ \int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx \]

অর্থাৎ,

\[ \int_1^0 \frac{dx}{\sqrt{4 - 3x^2}} = - \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{4 - 3x^2}} \]

এখন, মূল ইন্টেগ্রালটি আমাদের জন্য নির্ণয় করি:

\[ I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{4 - 3x^2}} \]

এখানে, আমরা সাধারণত একটি সাবস্টিটিউশান করি। ধরা যাক:

\[ x = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin \theta \]

তাহলে,

\[ dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \cos \theta \, d\theta \]

আর, যখন \(x = 0\), তখন \(\theta = 0\); আর যখন \(x=1\), তখন:

\[ 1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3} \]

এখন, ইন্টেগ্রালটি পরিবর্তিত হয়:

\[ I = \int_{0}^{\pi/3} \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cos \theta \, d\theta}{\sqrt{4 - 3 \left(\frac{2}{\sqrt{3}} \sin \theta \right)^2}} \]

সাবস্টিটিউশনের ভিতর, ডেনোমিনেটরটি হিসাব করি:

\[ 4 - 3 \left(\frac{4}{3} \sin^2 \theta \right) = 4 - 4 \sin^2 \theta = 4(1 - \sin^2 \theta) = 4 \cos^2 \theta \]

অর্থাৎ,

\[ \sqrt{4 - 3x^2} = \sqrt{4 \cos^2 \theta} = 2 \cos \theta \]

এখন, ইন্টেগ্রালটি হয়:

\[ I = \int_{0}^{\pi/3} \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cos \theta \, d\theta}{2 \cos \theta} = \int_{0}^{\pi/3} \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cancel{\cos \theta}}{2 \cancel{\cos \theta}} d\theta = \int_{0}^{\pi/3} \frac{1}{\sqrt{3}} d\theta \]

এখানে, ইন্টেগ্রালের মান সহজ হয়:

\[ I = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \left[ \theta \right]_0^{\pi/3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \left( \frac{\pi}{3} - 0 \right) = \frac{\pi}{3 \sqrt{3}} \]

শেষে, মূল ইন্টেগ্রালের মান হচ্ছে:

\[ \int_1^0 \frac{dx}{\sqrt{4 - 3x^2}} = - I = - \frac{\pi}{3 \sqrt{3}} \]

অর্থাৎ, উত্তর হল:

\[ \boxed{ - \frac{\pi}{3 \sqrt{3}} } \]