সমাধান:
আমাদের দেওয়া ইন্টিগ্রালটি হল:
\[
I = \int_0^{\ln 2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx
\]
প্রথমে, আমরা সাবস্টিটিউশান করি:
\[
t = e^x \Rightarrow dt = e^x dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{t}
\]
সীমা পরিবর্তন করি:
প্রারম্ভিক সীমা: যখন \( x = 0 \), তাহলে \( t = e^0 = 1 \)
অন্তিম সীমা: যখন \( x = \ln 2 \), তখন \( t = e^{\ln 2} = 2 \)
\
অতএব, ইন্টিগ্রালটি হয়:
\[
I = \int_{t=1}^{t=2} \frac{t}{1 + t} \cdot \frac{1}{t} \, dt = \int_1^2 \frac{1}{1 + t} \, dt
\]
এখন, এই সরল ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি:
\[
I = \int_1^2 \frac{1}{1 + t} \, dt = \left[ \ln|1 + t| \right]_1^2
\]
\[ I = \ln(1 + 2) - \ln(1 + 1) = \ln 3 - \ln 2 \]
অতএব, চূড়ান্ত উত্তর হল:
\[
\boxed{\ln \left( \frac{3}{2} \right)}
\]