hati+hatj-hatk,  hati+2hatj-3hatk, এবং  4hati-hatj+λhatk ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে λ এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): vector ত??রয় সমতলীয় হওয়ার শর্তাবলী ব্যবহার করে λ এর মান নির্ণয় করা হলো: তিনটি ভেক্টর \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) এবং \(\vec{c}\) সমতলীয় হবে যদি তাদের বক্স গুণফল শূন্য হয়, অর্থাৎ, \([\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}] = 0\)। এখানে, ভেক্টর তিনটি হলো: \(\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}\) \(\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}\) \(\vec{c} = 4\hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k}\) বক্স গুণফলটি নির্ণয় করা যাক: \[ \begin{aligned} [\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}] &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 4 & -1 & \lambda \end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & \lambda \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 4 & \lambda \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \\ &= 1(2\lambda - 3) - 1(\lambda + 12) - 1(-1 - 8) \\ &= 2\lambda - 3 - \lambda - 12 + 9 \\ &= \lambda - 6 \end{aligned} \] যেহেতু ভেক্টর তিনটি সমতলীয়, তাই \([\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}] = 0\) হতে হবে। সুতরাং, \(\lambda - 6 = 0\) \(\lambda = 6\) 😮 কিন্তু প্রদত্ত উত্তর \(\frac{5}{3}\)। 🤔 আবার সমাধান করা যাক। \[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 4 & -1 & \lambda \end{vmatrix} &= 0 \\ 1(2\lambda - 3) - 1(\lambda + 12) - 1(-1 - 8) &= 0 \\ 2\lambda - 3 - \lambda - 12 + 9 &= 0 \\ \lambda - 6 &= 0 \\ \lambda &= 6 \end{aligned} \] ওহ! উত্তরের সাথে মিলছে না। 😕 কোথাও একটা ভুল হয়েছে। প্রশ্নটি পুনরায় দেখা যাক। প্রশ্নটি সঠিক আছে। 🤔 তার মানে প্রদত্ত উত্তরে ভুল আছে। সঠিক উত্তর ৬ হবে। 🎉