(-k,2),(0,-5) ও (2-k,3) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে k এর মান কত?

প্রথমে, ধরা যাক তিনটি বিন্দু: \(A(-k, 2)\), \(B(0, -5)\), এবং \(C(2 - k, 3)\)।

যেহেতু এই তিনটি বিন্দু সমরেখে বিন্যস্ত, তারা একই সরলরেখার উপর রয়েছে। এজন্য, আমাদের প্রথমে দুইটি জোড়া বিন্দুর মধ্যের রেখার ঢাল নির্ণয় করব এবং তাদের সমান হবে।

প্রথম জোড়া: \(A(-k, 2)\) এবং \(B(0, -5)\)

ঢাল: \[ m_{AB} = \frac{-5 - 2}{0 - (-k)} = \frac{-7}{k} \]

দ্বিতীয় জোড়া: \(B(0, -5)\) এবং \(C(2 - k, 3)\)

ঢাল: \[ m_{BC} = \frac{3 - (-5)}{(2 - k) - 0} = \frac{8}{2 - k} \]

যেহেতু তারা সমরেখে রয়েছে, তাই: \[ m_{AB} = m_{BC} \] অর্থাৎ, \[ \frac{-7}{k} = \frac{8}{2 - k} \] এখন, এই সমীকরণ সমাধান করি:

(-7)(2 - k) = 8k
-14 + 7k = 8k
-14 = 8k - 7k
-14 = k

অতএব, k এর মান হল \(\boxed{-14}\)।