y²=4x পরাবৃত্ত এবং y=x সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

পরাবৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

y²=4x পরাবৃত্ত এবং y=x সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হলো:

1. ছেদ বিন্দু নির্ণয়:

পরাবৃত্তের সমীকরণ: \( y^2 = 4x \)
সরলরেখার সমীকরণ: \( y = x \)

y এর মান পরাবৃত্তের সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\( x^2 = 4x \)
\( x^2 - 4x = 0 \)
\( x(x - 4) = 0 \)
সুতরাং, \( x = 0 \) অথবা \( x = 4 \)

যখন \( x = 0 \), \( y = 0 \)
যখন \( x = 4 \), \( y = 4 \)

সুতরাং, ছেদ বিন্দুগুলো হলো (0, 0) এবং (4, 4)। 🎉

2. ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে:
\( A = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - x) \, dx \)

\( = \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - x) \, dx \)
\( = \left[ 2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{4} \)
\( = \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{4} \)

\( = \left( \frac{4}{3} (4)^{3/2} - \frac{1}{2} (4)^2 \right) - \left( \frac{4}{3} (0)^{3/2} - \frac{1}{2} (0)^2 \right) \)
\( = \left( \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{1}{2} \cdot 16 \right) - 0 \)
\( = \frac{32}{3} - 8 \)
\( = \frac{32 - 24}{3} \)
\( = \frac{8}{3} \) বর্গ একক। 🎈

অতএব, y²=4x পরাবৃত্ত এবং y=x সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \( \frac{8}{3} \) বর্গ একক।

✅