\( \tan 2x \tan x = 1 \) সমীকরণে \( x \) এর কোন দুটি মান সঠিক নয়?

Explanation: Hints: অপশনের যে মান দ্বারা \( \tan 2x \tan x = 1 \) সমীকরণটি সিদ্ধ হবে না, সেগুলিই \( x \) এর সঠিক মান নয়। Solve: \(\tan 2x \tan x = 1 \implies \frac{2\tan x}{1-\tan^2x} \tan x = 1\) \[ \implies 2\tan^2x = 1-\tan^2x \implies 3\tan^2x = 1 \implies \tan^2x = \frac{1}{3} \] \[ \implies \tan x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \tan x = \tan\left(\pm \frac{\pi}{6}\right) \] \[ \therefore x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}, \text{ যেখানে } n = 0, \pm 1, \pm 2... \] এখন \( n \) এর মান একটি একটি করে কষলে, অপশন (C) বাদে বাকিগুলো পাওয়া যায়। অর্থাৎ (C) অপশনের মানগুলো সঠিক নয়। Ans. (C) ব্যাখ্যা: এ ধরনের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলোর সমাধান করার সময় Calculator ব্যবহার করে Option Test করে করতে হবে। তাই ভুলের সম্ভাবনা কম থাকে। আর মনে রাখবে, \( \tan \theta = \tan c \) হলে, \( \theta = n\pi \pm \alpha \)।

Another Explanation (5): ```html

প্রদত্ত সমীকরণটি হল: \( \tan 2x \tan x = 1 \)।

আমরা জানি, \( \tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \)

সুতরাং, সমীকরণটি লেখা যায়: \( \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \cdot \tan x = 1 \)

\( \Rightarrow 2 \tan^2 x = 1 - \tan^2 x \)

\( \Rightarrow 3 \tan^2 x = 1 \)

\( \Rightarrow \tan^2 x = \frac{1}{3} \)

\( \Rightarrow \tan x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \)

যদি \( \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \) হয়, তবে \( x = n\pi + \frac{\pi}{6} \), যেখানে \( n \) একটি পূর্ণসংখ্যা।

যদি \( \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) হয়, তবে \( x = n\pi - \frac{\pi}{6} \), যেখানে \( n \) একটি পূর্ণসংখ্যা।

সুতরাং, \( x = n\pi \pm \frac{\pi}{6} \)।

এখন, \( \tan 2x \) এবং \( \tan x \) এর মান অসীম (undefined) হতে পারে, যখন \( 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) অথবা \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), যেখানে \( k \) একটি পূর্ণসংখ্যা।

অর্থাৎ, \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \) অথবা \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) হলে \( \tan 2x \) অথবা \( \tan x \) অসীম হবে।

দেওয়া আছে, \( x \) এর মান \( \frac{8\pi}{6} \) এবং \( \frac{9\pi}{6} \) সঠিক নয়।

\( x = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} \). এখন, \( \tan(\frac{4\pi}{3}) = \tan(\pi + \frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \)। এবং \( \tan(2 \cdot \frac{4\pi}{3}) = \tan(\frac{8\pi}{3}) = \tan(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = \tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3} \)। তাহলে, \( \tan(2x) \tan(x) = -\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = -3 \neq 1 \)।

\( x = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \). এখন, \( \tan(\frac{3\pi}{2}) \) অসীম। সুতরাং, এই মানটি সঠিক নয়।

যদি \( x = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} \) হয়, তবে \( \tan x = \sqrt{3} \) এবং \( \tan 2x = - \sqrt{3} \)। সুতরাং, \( \tan 2x \tan x = -3 \neq 1 \)।

যদি \( x = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \) হয়, তবে \( \tan x \) অসীম হবে, তাই এই মানটি গ্রহণযোগ্য নয়।

অতএব, \( \frac{8\pi}{6} \) এবং \( \frac{9\pi}{6} \) প্রদত্ত সমীকরণের সঠিক মান নয়। 🎉

```