x<y<0 হলে নিচের কোনটি শুদ্ধ?

প্রশ্ন: \(x < y < 0\) হলে নিচের কোনটি শুদ্ধ?

উত্তর: \(x+y < xy\)

ব্যাখ্যা:

যেহেতু \(x < y < 0\), তাই \(x\) এবং \(y\) উভয়ই ঋণাত্মক সংখ্যা। 😥

ধরি, \(x = -2\) এবং \(y = -1\) (যেহেতু \(x < y < 0\))। 🤔

তাহলে, \(x + y = -2 + (-1) = -3\). ➕

এবং, \(xy = (-2) \times (-1) = 2\). ✖️

এখানে, \(-3 < 2\), অর্থাৎ \(x + y < xy\). ✅

সাধারণ প্রমাণ:

\(x < y\) দেওয়া আছে। 🤓

যেহেতু \(x < 0\), তাই উভয়পক্ষে \(x\) দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে। ⚠️

\(x^2 > xy\) (কারণ ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে অসমতার দিক বদলায়)। 🔄

আবার, \(y < 0\) হওয়ায় উভয়পক্ষে \(y\) দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে। ⚠️

\(y^2 > xy\). 🔄

এখন, \(x+y < xy\) প্রমাণ করতে হবে। 🤔

\(x+y < xy\)

বা, \(0 < xy - x - y\)

বা, \(1 < xy - x - y + 1\)

বা, \(1 < (x-1)(y-1)\)

যেহেতু \(x<0\) এবং \(y<0\) সুতরাং, \((x-1)\) এবং \((y-1)\) উভয়ই ঋণাত্মক। দুটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুণফল অবশ্যই ধনাত্মক হবে। 👍

এখন, যেহেতু \(x 1\)।👌

সুতরাং, \(x+y < xy\) সম্পর্কটি সঠিক।🥳