\( \sin(\cos^{-1} t) \cdot \tan(\cos^{-1}(2x^2)) = 1 \) হলে \(x\) এর মান কত?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: \( \sin(\cos^{-1} t) \cdot \tan(\cos^{-1}(2x^2)) = 1 \) হলে \( x \)-এর মান বের করার প্রশ্ন। এখানে ট্রিগনোমেট্রিক ফাংশন প্রয়োগ করে সমীকরণ সমাধান করতে হবে। অপশন বিশ্লেষণ: A \( 1, 1 \): ভুল, এটি সঠিক নয়। B \( 2, \frac{1}{2} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। C \( \sqrt{2}, \sqrt{2} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। D \( 2, -2 \): ভুল, এটি সঠিক নয়। E \( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \): সঠিক, এটি সঠিক সমাধান। নোট: ট্রিগনোমেট্রিক সমীকরণ সমাধানে অ্যালজেব্রিক সমীকরণ প্রয়োগ করা হয়েছে।

Another Explanation (5): bài giải chi tiết: প্রশ্ন: \( \sin(\cos^{-1} t) \cdot \tan(\cos^{-1}(2x^2)) = 1 \) হলে \(x\) এর মান কত? দেওয়া আছে, \( \sin(\cos^{-1} t) \cdot \tan(\cos^{-1}(2x^2)) = 1 \) আমরা জানি, \( \sin(\cos^{-1} t) = \sqrt{1-t^2} \) সুতরাং, \( \sqrt{1-t^2} \cdot \tan(\cos^{-1}(2x^2)) = 1 \) \( \Rightarrow \tan(\cos^{-1}(2x^2)) = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \) এখন, ধরি \( \cos^{-1}(2x^2) = \theta \) তাহলে, \( \cos \theta = 2x^2 \) \( \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \) আমরা জানি, \( \tan \theta = \frac{\sqrt{1-\cos^2 \theta}}{\cos \theta} \) অথবা, \(\tan \theta = \frac{opposite}{adjacent}\) ব্যবহার করতে পারি। \( \tan \theta = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} \) এই সূত্র ব্যবহার করে পাই, \( \tan \theta = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 \theta} - 1} = \sqrt{\frac{1}{(2x^2)^2} - 1} \) সুতরাং, \( \sqrt{\frac{1}{4x^4} - 1} = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \) বর্গ করে পাই, \( \frac{1}{4x^4} - 1 = \frac{1}{1-t^2} \) \( \frac{1-4x^4}{4x^4} = \frac{1}{1-t^2} \) \( 1-4x^4 = \frac{4x^4}{1-t^2} \) \( 1 = 4x^4 + \frac{4x^4}{1-t^2} \) \( 1 = 4x^4 \left( 1 + \frac{1}{1-t^2} \right) \) \( 1 = 4x^4 \left( \frac{1-t^2+1}{1-t^2} \right) \) \( 1 = 4x^4 \left( \frac{2-t^2}{1-t^2} \right) \) \( x^4 = \frac{1-t^2}{4(2-t^2)} \) যদি \( t = 0 \) হয়, তবে \( \sin(\cos^{-1} 0) \cdot \tan(\cos^{-1}(2x^2)) = 1 \) \( \sin(\frac{\pi}{2}) \cdot \tan(\cos^{-1}(2x^2)) = 1 \) \( 1 \cdot \tan(\cos^{-1}(2x^2)) = 1 \) \( \tan(\cos^{-1}(2x^2)) = 1 \) \( \cos^{-1}(2x^2) = \tan^{-1}(1) \) \( \cos^{-1}(2x^2) = \frac{\pi}{4} \) \( 2x^2 = \cos(\frac{\pi}{4}) \) \( 2x^2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \) \( x^2 = \frac{1}{2\sqrt{2}} \) \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}} \) যদি প্রশ্নপত্রে \( \sin(\cos^{-1} t) = 1 \) হয়, তাহলে \( t = 0 \) হবে। সেই ক্ষেত্রে, \( \tan(\cos^{-1}(2x^2)) = 1 \) \( \cos^{-1}(2x^2) = \frac{\pi}{4} \) \( 2x^2 = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) \( x^2 = \frac{1}{2\sqrt{2}} \) \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}} \) কিন্তু প্রদত্ত উত্তর \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \) এর জন্য, \( 2x^2 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \) \( \cos^{-1}(1) = 0 \) \( \tan(0) = 0 \) সুতরাং, \( \sin(\cos^{-1} t) \cdot 0 = 1 \) যা সম্ভব নয়। যদি \( \tan(\cos^{-1}(2x^2)) \) এর পরিবর্তে \( \tan(\sec^{-1}(2x^2)) = 1 \) হয়, তবে: \( \sec^{-1}(2x^2) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \) \( 2x^2 = \sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \) \( x^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) \( x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \) যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \( \sin(\sin^{-1} t) \cdot \tan(\sec^{-1}(2x^2)) = 1 \) এবং \( t=1 \) তাহলে, \( 1 \cdot \tan(\sec^{-1}(2x^2)) = 1 \) \( \sec^{-1}(2x^2) = \frac{\pi}{4} \) (যা সম্ভব নয়, কারণ \( \sec \theta \ge 1 \) অথবা \( \sec \theta \le -1 \)) যদি \( \sin(\cos^{-1} t) \) এর পরিবর্তে \( \sin(\sin^{-1} t) \) হয়, তবে \( t = \sin(\sin^{-1} t) \) সেক্ষেত্রে, \( t \cdot \tan(\cos^{-1}(2x^2)) = 1 \) \( \tan(\cos^{-1}(2x^2)) = \frac{1}{t} \) ধরি, \( \cos^{-1}(2x^2) = \theta \) \( \cos \theta = 2x^2 \) \( \tan \theta = \frac{1}{t} \) \( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{t} \) \( \sin \theta = \frac{\cos \theta}{t} = \frac{2x^2}{t} \) আমরা জানি, \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) \( (\frac{2x^2}{t})^2 + (2x^2)^2 = 1 \) \( \frac{4x^4}{t^2} + 4x^4 = 1 \) \( 4x^4 (\frac{1}{t^2} + 1) = 1 \) \( 4x^4 (\frac{1+t^2}{t^2}) = 1 \) \( x^4 = \frac{t^2}{4(1+t^2)} \) \( x^2 = \frac{t}{2\sqrt{1+t^2}} \) \( x = \pm \sqrt{\frac{t}{2\sqrt{1+t^2}}} \) যদি \( t = 1 \) হয়, তবে \( x = \pm \sqrt{\frac{1}{2\sqrt{2}}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}} \) যদি \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \) হয়, তবে \( x^2 = \frac{1}{2} \) \( 2x^2 = 1 \) \( \cos^{-1}(1) = 0 \) \( \tan(0) = 0 \) \( 1 \cdot 0 = 1 \) (যা সম্ভব নয়) সুতরাং, প্রদত্ত উত্তরের জন্য প্রশ্নটি সঠিক নয়।