যদি x=√2 হয়, তবে cos sin⁻¹tan sin⁻¹ √(1+x²) এর মান কত?
🤔 প্রশ্ন: যদি \(x=\sqrt{2}\) হয়, তবে \( \cos(\sin^{-1}(\tan(\sin^{-1} \sqrt{1+x^2}))) \) এর মান কত?
সমাধান:
ধরি, \( \sin^{-1} \sqrt{1+x^2} = \theta \)
তাহলে, \( \sin \theta = \sqrt{1+x^2} \)
যেহেতু \( x = \sqrt{2} \), তাই \( \sin \theta = \sqrt{1+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{1+2} = \sqrt{3} \)
কিন্তু \(\sin \theta\) এর মান \([-1, 1]\) এর মধ্যে থাকতে হবে। এখানে \(\sqrt{3} > 1\), তাই \(\sin^{-1} \sqrt{1+x^2}\) এর বাস্তব মান নেই। 😓
প্রশ্নটি সম্ভবত ভুল আছে। যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \( \cos(\sin^{-1}(\tan(\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}))) \) তবে দেখা যাক।
ধরি, \( \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \alpha \)
তাহলে, \( \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(\sqrt{2})^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
অতএব, \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}} \)
\( \tan \alpha = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{1-\frac{1}{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
এখন, \( \sin^{-1} (\tan \alpha) = \sin^{-1} (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4} \)
সুতরাং, \( \cos(\sin^{-1}(\tan(\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}))) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
সুতরাং, \( \cos(\sin^{-1}(\tan(\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}))) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) 😊
যদি প্রশ্নটি প্রথমে দেওয়া মানের উপর ভিত্তি করে সঠিক করতে হয়, তবে \( \sin^{-1} \) এর ভিতরের মান 1 এর থেকে ছোট অথবা সমান হতে হবে। অন্যথায়, এর কোনো বাস্তব মান নেই।
```