\( \sec^2 (\cot^{-1} 3) + \csc^2 (\tan^{-1} 2) \) এর মান কত?
JUUnit-ASet-2উচ্চতর গণিত দ্বিতীয় পত্রবিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোনমিতিক সমীকরনত্রিকোনোমিতিক ও বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের সংযোজিত ফাংশন (Topic Practice)JU - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
A.
\( \frac{2}{13} \)
Another Explanation (5):
প্রথমে, আমরা প্রতিটি অংকের মান নির্ণয় করব:
1. \( \sec^2 (\cot^{-1} 3) \)
- ধরি, \( \theta = \cot^{-1} 3 \), তাহলে \( \cot \theta = 3 \)।
- এই মানে, \( \cot \theta = \frac{\text{অভ্যন্তরীণ বিপরীত অংশ}}{\text{অভ্যন্তরীণ পার্শ্ব}} \), অর্থাৎ \[ \cot \theta = \frac{\text{অপেক্ষাকৃত পার্শ্ব}}{\text{অপেক্ষাকৃত বিপরীত পার্শ্ব}} = 3 \] অর্থাৎ, যদি \( \text{অপেক্ষাকৃত পার্শ্ব} = 3k \) এবং \( \text{অভ্যন্তরীণ বিপরীত} = k \), তাহলে: \[ \text{অপেক্ষাকৃত পার্শ্ব} = 3k,\quad \text{অভ্যন্তরীণ বিপরীত} = k \] পাইথাগোরাস থিওরেম দ্বারা, হাইপোটেনিউজ \( h \): \[ h = \sqrt{(3k)^2 + k^2} = \sqrt{9k^2 + k^2} = \sqrt{10k^2} = k \sqrt{10} \] এখন, \[ \sec \theta = \frac{\text{হাইপোটেনিউজ}}{\text{অভ্যন্তরীণ পার্শ্ব}} = \frac{h}{3k} = \frac{k \sqrt{10}}{3k} = \frac{\sqrt{10}}{3} \] সুতরাং, \[ \sec^2 \theta = \left( \frac{\sqrt{10}}{3} \right)^2 = \frac{10}{9} \]
2. \( \csc^2 (\tan^{-1} 2) \)
- ধরি, \( \phi = \tan^{-1} 2 \), তাহলে \( \tan \phi = 2 \)।
- অর্থাৎ, \( \tan \phi = \frac{\text{অভ্যন্তরীণ বিপরীত}}{\text{অভ্যন্তরীণ পার্শ্ব}} = 2 \)। অর্থাৎ, যদি \( \text{অভ্যন্তরীণ বিপরীত} = 2m \), ও \( \text{অভ্যন্তরীণ পার্শ্ব} = m \), তাহলে: \[ \text{অভ্যন্তরীণ বিপরীত} = 2m,\quad \text{অভ্যন্তরীণ পার্শ্ব} = m \] পাইথাগোরাস থিওরেম দ্বারা, হাইপোটেনিউজ \( h' \): \[ h' = \sqrt{(2m)^2 + m^2} = \sqrt{4m^2 + m^2} = \sqrt{5m^2} = m \sqrt{5} \] এখন, \[ \csc \phi = \frac{\text{হাইপোটেনিউজ}}{\text{অভ্যন্তরীণ বিপরীত}} = \frac{h'}{2m} = \frac{m \sqrt{5}}{2m} = \frac{\sqrt{5}}{2} \] সুতরাং, \[ \csc^2 \phi = \left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)^2 = \frac{5}{4} \]