\( \sin[2(\sin^{-1}x + \cos^{-1}x)] = a \) হলে, \( a \) এর মান কত?

প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: \( \sin[2(\sin^{-1}x + \cos^{-1}x)] = a \) হলে, \( a \) এর মান কত?

সমাধান:

ধরা যাক, \( \sin^{-1}x = \theta \)। তাহলে, \[ x = \sin \theta \] এবং, \( \cos^{-1}x = \phi \)। তাহলে, \[ x = \cos \phi \] অর্থাৎ, \[ \sin \theta = \cos \phi \] এখন, আমরা জানি যে, \[ \sin \theta = \cos \phi \implies \theta + \phi = \frac{\pi}{2} \] কারণ, \(\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)\) এবং \( \phi = \frac{\pi}{2} - \theta \)। অতএব, \[ \sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \theta + \phi = \frac{\pi}{2} \] এখন, মূল সমীকরণে, \[ \sin \left[ 2 \left( \sin^{-1}x + \cos^{-1}x \right) \right] = \sin \left[ 2 \times \frac{\pi}{2} \right] = \sin (\pi) \] এবং, \[ \sin (\pi) = 0 \] অর্থাৎ, \[ a = 0 \]

উত্তর:

অতএব, \( a = 0 \)