\( \tan (\tan^{-1}(\frac{1}{3}) + \tan^{-1}(\frac{1}{2})) \) এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের দেওয়া হল: \[ \text{প্রশ্ন: } \tan \left( \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \right) \] আমরা জানি যে, যদি \( \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \) এবং \( \beta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \), তবে: \[ \text{তাহলে, } \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \] এখানে, \[ \tan \alpha = \frac{1}{3} \] \[ \tan \beta = \frac{1}{2} \] অতএব, \[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right)} \] প্রথমে, উপরের অংশের যোগফল, \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \] এবং নিচের অংশ, \[ 1 - \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \] সুতরাং, \[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1 \] অতএব, \[ \boxed{ \tan \left( \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) \right) = 1 } \]