সরল ছন্দিত গতির সমীকরণ-

Another Explanation (5):

সরল ছন্দিত গতির সমীকরণ

সরল ছন্দিত গতির (Simple Harmonic Motion) অবকলন সমীকরণটি হলো:

\( \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 \)

এখানে, * \( x \) = সময়ের সাথে বস্তুর সরণ * \( t \) = সময় * \( \omega \) = কৌণিক কম্পাঙ্ক (angular frequency)

ব্যাখ্যা

এই সমীকরণটি নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্র থেকে প্রতিপাদন করা যায়। সরল ছন্দিত গতিতে, বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল \( F \) সরণের সমানুপাতিক এবং বিপরীতমুখী হয়। অর্থাৎ,

\( F = -kx \)

যেখানে \( k \) হলো বল ধ্রুবক (force constant)। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রানুসারে, \( F = ma \) , যেখানে \( m \) হলো ভর এবং \( a \) হলো ত্বরণ। সুতরাং,

\( ma = -kx \)

ত্বরণ \( a \) কে সরণের দ্বিতীয় অন্তরকলন হিসাবে লেখা যায়, \( a = \frac{d^2x}{dt^2} \) । সুতরাং,

\( m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx \)

এখন, \( \frac{k}{m} = \omega^2 \) ধরে, আমরা পাই:

\( \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 \)

যা সরল ছন্দিত গতির অবকলন সমীকরণ। 🎉

সমাধান

এই সমীকরণের সাধারণ সমাধান হলো:

\( x(t) = A\cos(\omega t + \phi) \)

এখানে, * \( A \) = বিস্তার (amplitude) * \( \phi \) = দশা কোণ (phase angle) এই সমাধানটি নির্দেশ করে যে বস্তুটি একটি নির্দিষ্ট কম্পাঙ্ক \( \omega \) এবং বিস্তার \( A \) সহকারে সরল ছন্দিত গতিতে স্পন্দিত হচ্ছে। 🥳