\( \vec{P} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \) এবং \( \vec{Q} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k} \) ভেক্টরের উভয়ের উপর লম্ব দিকে একটি একক ভেক্টর কোনটি হবে?
ভেক্টর সংক্রান্ত সমস্যা সমাধান
দেওয়া আছে, \( \vec{P} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \) এবং \( \vec{Q} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k} \) । আমাদের \( \vec{P} \) এবং \( \vec{Q} \) উভয়ের উপর লম্ব দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করতে হবে।
দুটি ভেক্টরের লম্ব বরাবর ভেক্টর পেতে হলে তাদের ক্রস গুণফল নির্ণয় করতে হয়। সুতরাং, আমরা প্রথমে \( \vec{P} \times \vec{Q} \) নির্ণয় করি:
\( \vec{P} \times \vec{Q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & 3 & -3 \end{vmatrix} \)
\( = \hat{i} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 6 & -3 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} \)
\( = \hat{i} (2 \times (-3) - (-1) \times 3) - \hat{j} (2 \times (-3) - (-1) \times 6) + \hat{k} (2 \times 3 - 2 \times 6) \)
\( = \hat{i} (-6 + 3) - \hat{j} (-6 + 6) + \hat{k} (6 - 12) \)
\( = -3\hat{i} - 0\hat{j} - 6\hat{k} \)
\( = -3\hat{i} - 6\hat{k} \)
এখন, \( \vec{P} \times \vec{Q} \) এর মান নির্ণয় করি:
\( |\vec{P} \times \vec{Q}| = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} \)
সুতরাং, \( \vec{P} \) এবং \( \vec{Q} \) উভয়ের উপর লম্ব দিকে একক ভেক্টর হবে:
\( \hat{n} = \frac{\vec{P} \times \vec{Q}}{|\vec{P} \times \vec{Q}|} = \frac{-3\hat{i} - 6\hat{k}}{\sqrt{45}} = \frac{-3(\hat{i} + 2\hat{k})}{\sqrt{45}} \)
অতএব, নির্ণেয় একক ভেক্টরটি হলো: \( \frac{-3(\hat{i} + 2\hat{k})}{\sqrt{45}} \) 🎉
```