ধর, পৃথিবীর ব্যাস বরাবর একটি সুড়ঙ্গ খনন করা হলো এবং একটি ক্ষুদ্র বস্তুকে সুড়ঙ্গের মধ্যে ছেড়ে দেওয়া হলো। কেন্দ্রে পৌঁছাবে তখন মুক্তিবেগ \( v_e \)-এর সাপেক্ষে বস্তুটির বেগ কত?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: পৃথিবীর ব্যাস বরাবর সুড়ঙ্গ খনন এবং কণার মুক্তিবেগ নির্ধারণ করতে বলা হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( \frac{3}{2} v_e \): ভুল, এটি সঠিক নয়। B. \( \frac{1}{2} v_e \): ভুল, এটি সঠিক নয়। C. \( \frac{1}{\sqrt{2}} v_e \): সঠিক, এই সম্পর্কের মাধ্যমে কণার মুক্তিবেগ বের করা হয়েছে। D. 0: ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: পৃথিবী ব্যাস বরাবর সুড়ঙ্গের মধ্য দিয়ে কণার মুক্তিবেগ নির্ধারণ করতে গণনা করা হয়েছে।

Another Explanation (5): পৃথিবীর ব্যাস বরাবর সুড়ঙ্গ খনন করে একটি বস্তুকে ছেড়ে দিলে তার বেগ নির্ণয়: ধরি, পৃথিবীর ভর \(M\), ব্যাসার্ধ \(R\) এবং সুড়ঙ্গের মধ্যে বস্তুর ভর \(m\)। যখন বস্তুটি সুড়ঙ্গের মধ্যে \(x\) দূরত্বে থাকবে, তখন পৃথিবীর কেন্দ্রের দিকে তার উপর ক্রিয়াশীল মহাকর্ষ বল হবে: \[ F = \frac{GMm}{R^3}x \] এটি একটি সরল ছন্দিত স্পন্দন (Simple Harmonic Motion) এর ন্যায়, যেখানে \(F = -kx\)। সুতরাং, \(k = \frac{GMm}{R^3}\)। সুতরাং কৌণিক কম্পাঙ্ক, \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{GM}{R^3}} \] আমরা জানি, \(g = \frac{GM}{R^2}\), সুতরাং \(\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}\) বস্তুটি যখন কেন্দ্রে পৌঁছাবে, তখন তার বেগ হবে: \[ v = \omega A \] যেখানে \(A\) হলো বিস্তার, এক্ষেত্রে \(A = R\)। সুতরাং, \[ v = \sqrt{\frac{g}{R}} \cdot R = \sqrt{gR} \] এখন, মুক্তিবেগ \(v_e = \sqrt{2gR}\)। সুতরাং, \(v = \sqrt{gR} = \frac{v_e}{\sqrt{2}}\)। অতএব, বস্তুটি যখন কেন্দ্রে পৌঁছাবে তখন মুক্তিবেগের সাপেক্ষে তার বেগ হবে: \[ v = \frac{1}{\sqrt{2}} v_e \] সুতরাং, উত্তর: \(\frac{1}{\sqrt{2}} v_e\) 🎉