−\( \frac{\pi}{2} \) < x < \( \frac{\pi}{2} \) সীমার মধ্যে tanx - 3x = 0 এর কয়টি মূল আছে?

Explanation: Hints: ফাংশনটির ত্রিকোণমিতিক লেখচিত্র থেকে সেখান থেকে মূল বের করতে পারে। Solve: \[ \text{tan}x - 3x = 0; y = \text{tan}x \quad y = 3x \text{ এর জন্য লেখচিত্র আঁকলে ফাংশনগুলোর ছেদবিন্দু হবে } \text{tan}x - 3x = 0 \text{ সমীকরণের সমাধান।} \\ \text{উক্ত লেখচিত্রের ছেদবিন্দু তিনটি (A, O, B বিন্দু)। ফলে সমাধান তিনটি।} \] Ans. (D) ব্যাখ্যা: \(y = \text{tan}x\) ও \(y = 3x\) অর্থাৎ \(\text{tan}x = 3x\) বা \(\text{tan}x - 3x = 0\) সমীকরণের লেখচিত্রে পালের চিত্র আঁকন করা হয়েছে। লেখচিত্রে দেখা যাচ্ছে, \(-\pi/2\) থেকে \(\pi/2\) রেঞ্জের ভিতর \(y = 3x\) রেখাটি \(y = \text{tan}x\) এর তিনটি বিন্??ুতে ছেদ করে। বিন্দু তিনটি হচ্ছে, \(A, O \& B\)। অর্থাৎ সমীকরণটির তিনটি সমাধান বিদ্যমান।

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \) সীমার মধ্যে \( \tan x - 3x = 0 \) এর কয়টি মূল আছে? ????

সমাধান:

ধরি, \( f(x) = \tan x - 3x \)

আমরা \( f(x) \) এর মূলগুলো খুঁজে বের করতে চাই।

প্রথমত, \( x = 0 \) একটি মূল, কারণ \( f(0) = \tan 0 - 3 \cdot 0 = 0 \)। 🥳

এখন, আমরা \( f(x) \) এর ডেরিভেটিভ বের করি:

\( f'(x) = \sec^2 x - 3 \)

\( f'(x) = 0 \) হলে, \( \sec^2 x = 3 \)

সুতরাং, \( \cos^2 x = \frac{1}{3} \)

অতএব, \( \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \)

যেহেতু \( -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \), তাই \( x = \pm \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \) হবে।

আমরা জানি, \( \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \) একটি ধনাত্মক মান। ধরি, \( x_0 = \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \)।

তাহলে, \( x = x_0 \) এবং \( x = -x_0 \) দুটি বিন্দুতে \( f'(x) = 0 \) হবে।

এখন, \( f'(x) \) এর চিহ্ন পরীক্ষা করি:

• \( -\frac{\pi}{2} < x < -x_0 \) এর জন্য, \( f'(x) > 0 \) (কারণ \( \cos^2 x < \frac{1}{3} \), তাই \( \sec^2 x > 3 \))। সুতরাং, \( f(x) \) ক্রমবর্ধমান।
• \( -x_0 < x < 0 \) এর জন্য, \( f'(x) < 0 \) (কারণ \( \cos^2 x > \frac{1}{3} \), তাই \( \sec^2 x < 3 \))। সুতরাং, \( f(x) \) убывающий।
• \( 0 < x < x_0 \) এর জন্য, \( f'(x) < 0 \) (কারণ \( \cos^2 x > \frac{1}{3} \), তাই \( \sec^2 x < 3 \))। সুতরাং, \( f(x) \) убывающий।
• \( x_0 < x < \frac{\pi}{2} \) এর জন্য, \( f'(x) > 0 \) (কারণ \( \cos^2 x < \frac{1}{3} \), তাই \( \sec^2 x > 3 \))। সুতরাং, \( f(x) \) ক্রমবর্ধমান।

এখন, আমাদের দেখতে হবে \( x_0 \) এবং \( -x_0 \) তে \( f(x) \) এর মান কেমন।

\( f(x_0) = \tan x_0 - 3x_0 \) এবং \( f(-x_0) = \tan (-x_0) - 3(-x_0) = -\tan x_0 + 3x_0 = -f(x_0) \)

যেহেতু \( x_0 \approx 0.955 \) (প্রায়), তাই \( \tan x_0 \approx 1.346 \) এবং \( 3x_0 \approx 2.865 \)।

সুতরাং, \( f(x_0) \approx 1.346 - 2.865 = -1.519 < 0 \)

এবং \( f(-x_0) \approx -1.346 + 2.865 = 1.519 > 0 \)

সুতরাং, \( -\frac{\pi}{2} \) থেকে \( -x_0 \) এর মধ্যে একটি মূল, \( -x_0 \) থেকে \( 0 \) এর মধ্যে কোনো মূল নেই, \( 0 \) একটি মূল, \( 0 \) থেকে \( x_0 \) এর মধ্যে কোনো মূল নেই, এবং \( x_0 \) থেকে \( \frac{\pi}{2} \) এর মধ্যে একটি মূল আছে।

অতএব, \( \tan x - 3x = 0 \) এর তিনটি মূল আছে। 🥳🥳🥳

উত্তর: 3

```