tan^-1(2)+tan^-1(3)+tan^-1(4) হলে, tanθ=?

দেওয়া আছে, \( \theta = \tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(4) \)। আমাদের \( \tan{\theta} \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, \( \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) \)।

প্রথমে, \( \tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3) \) এর মান বের করি:

\(\tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3) = \tan^{-1}\left(\frac{2+3}{1-(2)(3)}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{5}{1-6}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{5}{-5}\right) = \tan^{-1}(-1)\)

আমরা জানি, \( \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4} \)। কিন্তু, যেহেতু \( \tan^{-1}(2) \) এবং \( \tan^{-1}(3) \) উভয়ই প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত, তাই তাদের যোগফল \( \pi \) এর চেয়ে ছোট হবে। সুতরাং, \( \tan^{-1}(-1) \) এর সঠিক মান হবে \( \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \)।

সুতরাং, \( \tan^{-1}(2) + \tan^{-1}(3) = \frac{3\pi}{4} \)।

এখন, \( \theta = \frac{3\pi}{4} + \tan^{-1}(4) \)।

তাহলে, \( \tan{\theta} = \tan\left(\frac{3\pi}{4} + \tan^{-1}(4)\right) \)।

ধরি, \( \tan^{-1}(4) = \alpha \)। তাহলে, \( \tan{\alpha} = 4 \)।

সুতরাং, \( \tan{\theta} = \tan\left(\frac{3\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \tan(\alpha)}{1 - \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)\tan(\alpha)} \)।

আমরা জানি, \( \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1 \)। সুতরাং,

\( \tan{\theta} = \frac{-1 + 4}{1 - (-1)(4)} = \frac{3}{1+4} = \frac{3}{5} \)।

অতএব, \( \tan{\theta} = \frac{3}{5} \) 🥳।