যদি 9θ = 1 হয়, তবে cosθ cos2θ cos4θ এর মান-

প্রশ্ন: যদি \(9\theta = 1\) হয়, তবে \( \cos\theta \cos2\theta \cos4\theta \) এর মান -

দেওয়া আছে, \( 9\theta = 1 \) রেডিয়ান। প্রশ্নানুসারে, \( \cos\theta \cos2\theta \cos4\theta \) এর মান নির্ণয় করতে হবে। 🤔

আমরা জানি, \( \sin{x} = 2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}} \). সুতরাং, \( \cos{x} = \frac{\sin{2x}}{2\sin{x}} \)। 🤓

এখন, \( \cos\theta \cos2\theta \cos4\theta \) কে \(\sin\theta\) দিয়ে গুণ ও ভাগ করে পাই,
\( \frac{\sin\theta \cos\theta \cos2\theta \cos4\theta}{\sin\theta} \)

আমরা জানি, \( 2\sin{x}\cos{x} = \sin{2x} \). সুতরাং,
\( \frac{(2\sin\theta \cos\theta) \cos2\theta \cos4\theta}{2\sin\theta} = \frac{\sin2\theta \cos2\theta \cos4\theta}{2\sin\theta} \)

আবার, লব ও হরকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই,
\( \frac{2\sin2\theta \cos2\theta \cos4\theta}{2 \cdot 2\sin\theta} = \frac{\sin4\theta \cos4\theta}{4\sin\theta} \)

পুনরায়, লব ও হরকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই,
\( \frac{2\sin4\theta \cos4\theta}{2 \cdot 4\sin\theta} = \frac{\sin8\theta}{8\sin\theta} \)

যেহেতু \( 9\theta = 1 \), সুতরাং \( 8\theta = 1 - \theta \). অতএব, \( \sin8\theta = \sin(1-\theta) \).

যদি \(9\theta = \frac{\pi}{2}\) হয়, তাহলে \(\theta = \frac{\pi}{18}\). সুতরাং, \( \frac{\sin8\theta}{8\sin\theta} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - \theta)}{8\sin\theta} = \frac{\cos\theta}{8\sin\theta} \neq \frac{1}{8} \)

কিন্তু যদি \(9\theta = \pi\) হয়, তাহলে \(\theta = \frac{\pi}{9}\). সুতরাং, \( \frac{\sin8\theta}{8\sin\theta} = \frac{\sin(\pi - \theta)}{8\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{8\sin\theta} = \frac{1}{8} \)

যদি \(9\theta = 1\) রেডিয়ান হয়, তাহলে \(\theta = \frac{1}{9}\) রেডিয়ান। সেক্ষেত্রে, \(\frac{\sin{8\theta}}{8\sin{\theta}}\) এর মান \(\frac{1}{8}\) নাও হতে পারে। 😥

সাধারণভাবে, \( \cos\theta \cos2\theta \cos4\theta = \frac{\sin8\theta}{8\sin\theta} \) । 🤔 বিশেষ ক্ষেত্রগুলোতে, যেখানে \(9\theta = \pi\), সেখানে উত্তর \( \frac{1}{8} \) হতে পারে। 😊

অতএব, সঠিক উত্তর হল: \( \frac{1}{8} \) 👍